Высказывания. Логические значения






Понятие высказывания

Высказывание — это повествовательное предложение, о котором можно (по крайней мере в пределах определенного контекста) говорить, что оно истинно или ложно (Х.Фрейденталь) 2.

Высказывания являются одним из основополагающих видов носителей информации 3. Примерами высказываний на русском языке являются предложения: “Вчера было полнолуние”, “Москва — столица Российской Федерации”. Для определенного объекта, как, например, луна, город, страна, высказывания характеризуют определенные свойства или состояния, с помощью высказываний мы устанавливаем взаимосвязи между объектами.

Высказывание будет истинным, если оно адекватно отображает эту связь, в противном случае оно ложно. Однако определение истинности высказывания далеко не простой вопрос. Например, высказывание “Число 1 + 225 = 4 294 967 297 — простое”, принадлежащее Ферма (1601–1665), долгое время считалось истинным, пока в 1732 году Эйлер не доказал, что оно ложно.

Изучением высказываний как математических объектов занимается алгебра логики. Однако обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне алгебры логики. Например, истинность или ложность высказывания “Сумма углов треугольника равна 180о” устанавливается геометрией, причем в геометрии Евклида это высказывание является истинным, а в геометрии Лобачевского — ложным.

Приведенное выше определение высказывания не является математически точным. Оно отсылает проблему определения высказывания к проблеме определения истинности или ложности данного языкового образования. Если рассматривать в качестве высказываний любые утвердительные предложения, то это быстро приводит к парадоксам и противоречиям. Например, предложению “Это предложение является ложным” невозможно приписать никакого значения истинности без того, чтобы не получить противоречие. Действительно, если принять, что предложение истинно, то это противоречит его собственному утверждению. Если же принять, что предложение ложно, то отсюда следует, что предложение на самом деле истинно. Как видно, этому предложению осмысленно нельзя приписать какое-либо значение истинности, следовательно, оно не является высказыванием.

Причина этого парадокса лежит в структуре построения указанного предложения: оно ссылается на свое собственное значение. С помощью определенных ограничений на допустимые формы высказываний могут быть устранены такие ссылки на себя и, следовательно, устранены возникающие отсюда парадоксы.

Высказывания могут выражаться с помощью математических, физических, химических и прочих знаков. Например, из двух чисел можно составить высказывания, соединив их знаками равенства или неравенства: “5 < 7” (истинное высказывание), “5 = 7” (ложное высказывание).

Понятие высказывательной формы

Однако не всякое повествовательное предложение является высказыванием. Например, в предложении “х < 12” не содержится никакого утверждения, следовательно, нельзя ставить вопрос о его истинности или ложности. Но это предложение становится высказыванием при замене переменной х каким-либо конкретным значением.

Буква х, входящая в это предложение, играет роль переменной. Переменная — это языковое выражение, служащее для обозначения произвольного объекта из некоторого конкретного множества, называемого областью допустимых значений этой переменной. Если переменная употребляется таким образом, что вместо нее допускается подстановка любого значения из области допустимых значений, то эта переменная называется свободной. Так, переменная х в предложении “х < 12” является свободной. Переменные a, b, с и y в предложении ay2 + by + c = 0 также являются свободными.

Однако встречается такое употребление переменных, например, в математике, которое не предполагает и не допускает возможность подстановки вместо переменных конкретных имен объектов (значений). Так, предложение “Не существует действительной переменной z, квадратный корень которой равен –1” содержит переменную z, однако подстановка конкретных значений вместо переменной z лишена какого-либо смысла.

В случае, когда по смыслу выражения, содержащего переменную, подстановка вместо нее конкретных значений невозможна, эта переменная называется связанной. Повествовательное предложение, содержащее свободные переменные, называется высказывательной формой. Например, предложения типа “х < 12” есть высказывательная форма.

Логические переменные и логические значения

Высказывание называется простым или элементарным, если никакая его часть сама не является высказыванием. Если высказывание является истинным, то говорят, что его истинностное значение есть И (истина), если высказывание является ложным, то его истинностное значение есть Л (ложь). Как уже было сказано ранее, обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне логики.

Из элементарных высказываний можно получать новые, более сложные высказывания. Способ построения сложного высказывания из элементарных высказываний, при котором истинностное значение сложного высказывания полностью определяется истинностными значениями исходных высказываний, называется логической операцией (см. “Логические операции. Кванторы”). В русском языке сложные высказывания из элементарных высказываний строятся при помощи логических связок типа: и, или, а, но, либо, если … то, неверно, что... и т.д.

Логической переменной называется переменная, значением которой может быть любое, наперед заданное высказывание. Логические переменные обозначаются латинскими буквами, быть может, снабженными индексами, как обычные алгебраические переменные: x, y, x1, y1, xk, yn и т.п. Очевидно, что логические переменные могут принимать только значения “истина” или “ложь”. Эти значения называют логическими. В алгебре логики, в языках программирования для обозначения значений логических переменных используют также 1 или true (истина), 0 или false (ложь).

Методические рекомендации

Как уже было сказано в статье, высказывания являются одной из основных форм представления информации. Действительно, с помощью высказываний мы можем описывать свойства объектов (“Число 5 — нечетное”, “15 апреля 2007 года в Хабаровске был ураганный ветер”), взаимоотношения объектов (“Если в ромбе все углы прямые, то это — квадрат”, “Дробь является правильной только тогда, когда ее числитель меньше знаменателя”). При помощи высказываний мы записываем алгоритмы в текстовой форме, строим информационные системы и т.д.

Каждое элементарное высказывание в определенной системе контекста несет значение истина или ложь. Одну из первых попыток постичь понятие высказывания предпринял древнегреческий ученый и философ, основоположник формальной логики Аристотель (384–322 до н.э.). Он писал: “Высказывание — это языковое образование, в отношении которого имеет смысл говорить о его истинности или ложности”. Для точного определения понятия высказывания и формальной работы с высказываниями в информатике строятся специальные формальные системы. В рамках таких систем мы можем представлять информацию в формальном виде, например, в виде логических формул, — так называемая внешняя форма представления информации, вычислять значение информации (в смысле описания свойств объекта, взаимоотношений объектов и т.д.) — так называемая собственно “абстрактная” информация.

Манфред Брой (немецкий ученый, лауреат премии Лейбница в области информатики) дает следующее определение информации: “Информацией называют абстрактное содержание (“содержательное значение”, “семантика”) какого-либо высказывания, описания, указания, сообщения или известия. Внешнюю форму изображения информации называют представлением информации”. Выявление подходящих систем представления (“языков”) для определенных классов информации является одной из задач информатики.

Понятие высказывания вводится в средней школе, как правило, в 8–9-м классе. Однако с этим понятием учащиеся начинают работать с младших классов. Авторы некоторых учебников называют высказывания суждениями. Однако дело не в терминологии. Важно, чтобы школьник научился понимать, является ли конкретное предложение высказыванием или нет, чтобы он умел обосновать свой ответ. Если в рамках изучаемой темы (например, “Человек и информация” или “Основы алгоритмизации и программирования”) школьникам приходится строить сложные высказывания и определять их истинность, то последовательность изложения материала может быть следующая:

· понятие простого и сложного высказывания;

· понятие истинности высказывания;

· знакомство с основными логическими связками;

· отработка навыков построения сложных высказываний, устанавливающих взаимосвязь между объектами;

· отработка навыков построения высказываний, описывающих заданные объекты.


2 Фрейденталь Х. Язык логики. М.: Наука, 1969.

3 Брой М. Информатика. Основополагающее введение: часть I. М.: Диалог–МИФИ, 1996.





Наверх