Главная | Информатика и информационно-коммуникационные технологии | Планирование уроков и материалы к урокам | 7 классы | Планирование уроков на учебный год | Математические модели


Урок 13
Математические модели




Контрольная работа






Математические модели


Основным языком информационного моделирования в науке является язык математики. Модели, построенные с использованием математических понятий и формул, называются математическими моделями.

Пример 1


Рассмотрим текст небольшой заметки из школьной стенгазеты:

После капитального ремонта бассейн «Дельфин» буквально преобразился: просторные раздевалки и душевые сверкают новеньким кафелем, захватывает дух от вида замысловатой горки и пятиметровой вышки, манит голубая гладь водных дорожек. Но самое главное, строители переделали систему водоснабжения бассейна. Раньше бассейн наполнялся водой из одной трубы. На это уходило 30 часов. Теперь строители подвели еще одну трубу, которая наполняет бассейн за 20 часов. Представляете, как мало времени теперь потребуется для наполнения бассейна, если включить обе эти трубы!

Этот текст можно рассматривать как словесную модель бассейна. Попробуем решить содержащуюся в заметке задачу: узнаем, за сколько часов бассейн наполнится через обе трубы.

Если отбросить информацию, несущественную с точки зрения поставленной задачи, то условие задачи можно сформулировать так:

Через первую трубу бассейн наполняется за 30 часов, через вторую трубу — за 20 часов. За сколько часов бассейн наполнится через обе трубы?

Попробуем решить задачу в общем виде, обозначив время заполнения бассейна через первую и вторую трубы А и Б соответственно. Примем за 1 весь объем бассейна, искомое время обозначим через t.

Так как через первую трубу бассейн наполняется за А часов, то 1 / A - часть бассейна, наполняемая первой трубой за 1 час; 1 / B - часть бассейна, наполняемая второй трубой за 1 час.

Следовательно, скорость наполнения бассейна первой и второй трубами вместе составит: 1 / A + 1 / B.

Можем записать:

(1 / A + 1 / B) * t = 1.

Мы получили математическую модель, описывающую процесс наполнения бассейна из двух труб.

Преобразуем выражение в скобках: 1 / A + 1 / B = B + A / A * B.

Формула (1) примет вид: (A + B / A * B) * t = 1

Теперь искомое время может быть вычислено по формуле:

t = A + B / A * B

Несложно подсчитать, что при исходных данных А = 30 и В = 20 искомое время равно 12 часам.

Пример 2


На шоссе расположены пункты А и B, удаленные друг от друга на 20 км. Мотоциклист выехал из пункта B в направлении, противоположном А, со скоростью 50 км/ч.

Составим математическую модель, описывающую положение мотоциклиста относительно пункта А через t часов.

За t часов мотоциклист проедет 50t км и будет находиться от А на расстоянии 50t км + 20 км. Если обозначить буквой s расстояние (в километрах) мотоциклиста до пункта А, то зависимость этого расстояния от времени движения можно выразить формулой:

s = 50t + 20, где t ≥ 0.

Коротко о главном


Основным языком информационного моделирования в науке является язык математики.

Модели, построенные с использованием математических понятий и формул, называются математическими моделями.

Вопросы и задания


1. Скорость распространения звука в воздухе в зависимости от температуры может быть найдена приближенно по формуле ν = 331 + 0,6t, где ν — скорость (в метрах в секунду), t — температура (в градусах Цельсия). Найдите, с какой скоростью распространяется звук в зимний день при температуре -35 °С и в летний день при температуре +30 °С.

2. Постройте математические модели для приведённых ниже задач. Какой вы можете сделать вывод на основании полученных моделей?
а) Первая бригада может выполнить задание за А дней, а вторая — за B дней. За сколько дней обе бригады выполнят задание, работая вместе?
б) Два велосипедиста одновременно направились навстречу друг другу из двух сел. Первый мог бы проехать расстояние между селами за А минут, второй — за В минут. Через сколько минут они встретятся?

3. Воспользовавшись моделью, построенной в примере 1, определите, за сколько часов бассейн может быть наполнен через первую трубу, если через вторую он заполняется за 24 часа, а через первую и вторую вместе — за 8 часов.

4. У садовника имеется 32 м провода, которым он хочет обозначить на земле границу клумбы. Форму клумбы ему надо выбрать из следующих вариантов:

image

Хватит ли садовнику имеющегося провода, чтобы обозначить границу каждой из представленных клумб?

Контрольная работа
по теме «Информационное моделирование»


Вариант 1.

1. Вес тела на поверхности планеты Юпитер можно найти по формуле: P=25,8 m, где m – масса тела в килограммах. Найдите вес тела массой 500 кг на поверхности планеты Юпитер

2. Для составления цепочек используются разные бусины, которые условно обозначаются цифрами 1, 2, 3, 4, 5. Каждая такая цепочка состоит из 4 бусин, при этом соблюдаются следующие правила построения цепочек:
1) на первом месте стоит одна из бусин 1, 4 или 5.
2) После четной цифры в цепочке не может идти снова четная, а после нечетной – нечетная
3) Последней цифрой не может быть цифра 3.

Какая из приведенных цепочек создана по этим правилам?
А) 4325
В) 4123
С) 1241
Д) 3452

3. Первая бригада может выполнить задание за 20 дней, вторая за 30 дней, работая по отдельности. За какое время бригады выполнят то же задание, работая совместно?

4. Постройте математическую модель для решения задачи. Из пунктов А и В, находящихся на расстоянии 150 км, движутся навстречу друг другу два велосипедиста со скоростями х и у км/ч. Через какое время расстояние между ними будет равно а км?

5. Решите задачу с помощью графа. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3, при условии, что цифры не будут повторяться?

Вариант 2.

1. Сила тяжести на поверхности планеты Марс можно найти по формуле: F=3,7 m, где m – масса тела в килограммах. Найдите силу тяжести, действующую на тело массой 200 кг на поверхности планеты Марс

2. Для составления цепочек используются разноцветные бусины: темные – красная (К), синяя (С), зеленая (З), и светлые – желтая (Ж), белая (Б). На первом месте в цепочке стоит бусина красного, синего или белого цвета. В середине цепочки – любая из светлых бусин, если первая бусина темная, и любая из темных бусин, если первая бусина светлая. На последнем месте – одна из бусин белого, желтого или синего цвета, не стоящая в цепочке в середине. Какая из перечисленных цепочек создана по этому правилу?
А) КЖС
Б) БКЗ
С) СЗЖ
Д) ЗКС

3. Через первую трубу бассейн наполняется водой за 15 часов, через вторую за 30 часов. За сколько времени наполнится бассейн через обе трубы?

4. Постройте математическую модель для решения задачи. Из пунктов А и В, находящихся на расстоянии 120 км, движутся в разные стороны два велосипедиста со скоростями х и у км/ч. Через какое время расстояние между ними будет равно 200 км?

5. В таблицах (см рис.) приведена протяженность автомагистралей между соседними населенными пунктами. Если пересечение строки и столбца пусто, то соответствующие населенные пункты не соединены автомагистралями. Укажите номер таблицы, для которой выполняется условие «максимальная протяженность маршрута от пункта А до пункта С не больше 5». Протяженность маршрута складывается из протяженности автомагистралей между соответствующими соседними населенными пунктами. При этом любой населенный пункт должен встречаться на маршруте не более одного раза

Наверх