Урок 3
Представление числовой информации в компьютере

Общие сведения о системах счисления

Изучив эту тему, вы узнаете и повторите:

- какие системы счисления существуют;
- как осуществляется перевод чисел из одной системы счисления в другую;
- с какими системами счисления работает компьютер;
- как представляются различные числа в памяти компьютера.

Прежде чем перейти к правилам представления числовой информации в компьютере, напомним общие сведения о системах счисления и связях между ними.

Система счисления — совокупность правил записи чисел с помощью определенного набора символов.

Для записи чисел могут использоваться не только цифры, но и буквы (например, запись римскими цифрами — XXI, MCMXCIX). Одно и то же число может быть по-разному представлено в различных системах счисления.

В зависимости от способа изображения чисел системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

В позиционной системе счисления значение каждой цифры числа зависит от того, в каком месте (позиции или разряде) она записана. Например, меняя позицию цифры 2 в десятичной системе счисления, можно записать разные по величине десятичные числа, например: 2; 20; 2000; 0,02 и т. д.

В непозиционной системе счисления цифры не изменяют своего значения при изменении их расположения в числе. Примером непозиционной системы может служить римская система, в которой независимо от местоположения одинаковый символ имеет неизменное значение (например, символ X в числе XXV).

Количество (р) различных символов, используемых для изображения числа в позиционной системе счисления, называется основанием системы счисления. В десятичной системе счисления р = 10 и для записи любого числа используется 10 цифр: 0, 1, 2, ..., 9.

В компьютере наиболее подходящей и надежной оказалась двоичная система счисления (р = 2), в которой для представления чисел используются цифры 0 и 1. Кроме этого оказалось удобным использовать представление информации с помощью еще двух систем счисления:

♦ восьмеричной (р = 8, используемые цифры — 0, 1, 2, ..., 7);
♦ шестнадцатеричной (р = 16, используемые символы-цифры — 0, 1, 2... 9 и буквы — А, В, С, D, Е, F, заменяющие числа 10, 11, 12, 13, 14, 15 соответственно).

Набор символов, используемый для обозначения цифр, называется алфавитом. Так, например, алфавит двоичной системы счисления содержит всего два символа: 0 и 1, а алфавит шестнадцатеричной системы — 16 символов: десять арабских цифр и шесть латинских букв. Все вышеупомянутые системы счисления, кроме римской — двоичная, десятичная, восьмеричная и шестнадцатеричная — являются позиционными.

В общем случае любое число N в позиционной системе счисления можно представить в следующем виде:

N_p = a_k*p^k + a_k-1*p^k-1 +...+ а₁*р¹ + a₀*p⁰ + a_-1*p^-1 +...+ a_-n*p^-n

где p — основание системы счисления; k+1 — количество разрядов в целой части числа; n — количество разрядов в дробной части числа. Нижние индексы определяют местоположение цифры в числе (разряд):

♦ положительные значения индексов — для целой части числа;
♦ отрицательные значения индексов — для дробной части числа.

С учетом этих обозначений запись числа N в любой позиционной системе счисления с основанием р имеет вид:

(a_k a_k-1 ... а₁ a₀, a_-1 a_-2 ... a_-n)_p

Например:
♦ при p = 10 в записи числа 2466,675₁₀ в десятичной системе счисления k = 3, n = 3;
♦ при р = 2 в записи числа 1011,11₂ в двоичной системе k = 3, n = 2.

Двоичная система счисления обладает такими же свойствами, что и десятичная, только для представления чисел используется не 10 цифр, а всего две. Соответственно и разряд числа называют не десятичным, а двоичным. Основные правила выполнения арифметических действий соблюдаются точно так же, как и в десятичной системе счисления.

Для сравнения рассмотрим представление чисел в разных системах счисления как сумму слагаемых, в которых учтен вес каждого разряда.

В десятичной системе счисления:

435,67 = 4*10² + 3*1О¹ + 5*10⁰ + 6*10^-1 + 7*10^-2.

В двоичной системе счисления число можно представить следующим образом:

10110,101₂ = 1*2⁴ + 0*2³ + 1*2² + 1*2¹ + 0*2⁰ + 1*2^-1 + 0*2^-2 + 1*2^-3.