Уроки 2 - 3
Передача информации
(§2. Передача информации)
Содержание урока
Помехоустойчивые коды
Помехоустойчивые коды
Значительно сложнее исправить ошибку сразу (без повторной передачи), однако в некоторых случаях и эту задачу удаётся решить. Для этого требуется настолько увеличить избыточность кода (добавить «лишние» биты), что небольшое число ошибок всё равно позволяет достаточно уверенно распознать переданное сообщение. Например, несмотря на помехи в телефонной линии, обычно мы легко понимаем собеседника. Это значит, что речь обладает достаточно большой избыточностью, и это позволяет исправлять ошибки «на ходу».
Пусть, например, нужно передать один бит, 0 или 1. Утроим его, добавив ещё два бита, совпадающих с первым. Таким образом, получаются два «правильных» сообщения:
000 и 111.
Теперь посмотрим, что получится, если при передаче одного из битов сообщения 000 произодёт ошибка и приёмник получит искажённое сообщение 001. Заметим, что оно отличается одним битом от ООО и двумя битами от второго возможного варианта — 111. Значит, скорее всего, произошла ошибка в последнем бите и сообщение нужно исправить на 000. Если приёмник получил 101, можно точно сказать, что произошла ошибка, однако попытка исправить её приведёт к неверному варианту, так как ближайшая «правильная» последовательность — это 111. Таким образом, такой код обнаруживает одну или две ошибки. Кроме того, он позволяет исправить (!) одну ошибку, т. е. является помехоустойчивым.
Помехоустойчивый код — это код, который позволяет исправлять ошибки, если их количество не превышает некоторого уровня.
Выше мы фактически применили понятие «расстояния» между двумя кодами. В теории передачи информации эта величина называется расстоянием Хэмминга в честь американского математика Р. Хэмминга.
Расстояние Хэмминга — это количество позиций, в которых различаются два закодированных сообщения одинаковой длины.
Например, расстояние d между кодами 001 и 100 равно
d(001, 100) = 2,
потому что они различаются в двух битах (эти биты подчёркнуты). В приведённом выше примере расстояние между «правильными» последовательностями (словами) равно d(000, 111) = 3. Такой код позволяет обнаружить одну или две ошибки и исправить одну ошибку.
В общем случае, если минимальное расстояние между «правильными» словами равно d, можно обнаружить от 1 до d - 1 ошибок, потому что при этом полученный код будет отличаться от всех допустимых вариантов. Для исправления г ошибок необходимо, чтобы выполнялось условие
d ≥ 2r +1.
Это значит, что слово, в котором сделано г ошибок, должно быть ближе к исходному слову (из которого оно получено искажением), чем к любому другому.
Рассмотрим более сложный пример. Пусть нужно передавать три произвольных бита, обеспечив обнаружение двух любых ошибок и исправление одной ошибки. В этом случае можно использовать, например, такой код с тремя контрольными битами (они подчёркнуты):
000000 100101 001111 101010 010011 110110 011100 111001
Расстояние Хэмминга между любыми двумя словами в таблице не менее 3, поэтому код обнаруживает две ошибки и позволяет исправить одну. Как же вычислить ошибочный бит?
Предположим, что было получено кодовое слово 011011. Определив расстояние Хэмминга до каждого из «правильных» слов, находим единственное слово 010011, расстояние до которого равно 1 (расстояния до остальных слов больше). Значит, скорее всего, это слово и было передано, но исказилось из-за помех.
На практике используют несколько более сложные коды, которые называются кодами Хэмминга. В них информационные и контрольные биты перемешаны, и за счёт этого можно сразу, без перебора, определить номер бита, в котором произошла ошибка. Наиболее известен семибитный код, в котором 4 бита — это данные, а 3 бита — контрольные. В нём минимальное расстояние между словами равно 3, поэтому он позволяет обнаружить две ошибки и исправить одну.
Следующая страница 
Вопросы и задания
Cкачать материалы урока
