11 класс
§ 8. Закон Ома для полной цепи
Закон ома для полной цепи.
Ранее мы изучили закон Ома для участка цепи, не содержащего источник тока. Теперь рассмотрим простейшую полную (замкнутую) электрическую цепь (рис. 1.41), состоящую из источника тока (например, гальванического элемента или аккумулятора) и резистора с сопротивлением
R.
Источник тока, имеющий ЭДС 
, обладает сопротивлением r. Его называют внутренним сопротивлением источника, в отличие от сопротивления R цепи, называемого внешним сопротивлением.
Например, в генераторе r — это сопротивление его обмоток (медных проводов), в гальваническом элементе или аккумуляторе это сопротивление раствора электролита и электродов.
Для вывода закона Ома для полной цепи воспользуемся законом сохранения энергии. Пусть за время Δt через поперечное сечение проводника пройдёт заряд q. Тогда, согласно формуле 
(см. § 7 "Электродвижущая сила. Источники тока"), работа сторонних сил при перемещении заряда q равна
Аст = q.
Из определения силы тока I получим q = IΔt. C учётом этого
Аст = IΔt.
Благодаря работе сторонних сил при прохождении тока в цепи на её внешнем и внутреннем участках выделяется количество теплоты, равное по закону Джоуля—Ленца
Q = I2RΔt + I2rΔt.
Согласно закону сохранения энергии, Аст = Q, поэтому
Произведение силы тока на сопротивление участка цепи называют падением напряжения на этом участке. Таким образом, ЭДС источника тока равна сумме падений напряжений на внешнем и внутреннем участках замкнутой цепи:
= U + U0,
где U = IR — падение напряжения на внешнем участке; U0 = Ir — падение напряжения на внутреннем участке цепи.
Из равенства (1) запишем:
Это и есть закон Ома для полной цепи.
Сила тока в полной цепи равна отношению ЭДС источника тока к полному сопротивлению цепи.
Внутреннее сопротивление источника тока, если оно мало по сравнению с внешним сопротивлением (r << R), оказывает незначительное влияние на силу тока. Но при коротком замыкании, когда R ≈ 0, сила тока очень велика, так как r мало. Например, при = 2 В и r = 0,1 — 0,004 Ом сила тока короткого замыкания Iкз = 20 — 2000 А. При такой силе тока провода могут расплавиться, а источник тока — выйти из строя 1.
1 Напомним, что при перегрузках и коротких замыканиях электрическую сеть защищает специальное устройство — предохранитель. Он состоит из проволоки, изготовленной из легкоплавкого металла. Проволока помещена в стеклянную трубку, имеющую на концах металлические наконечники, и рассчитана на определённую силу тока. Если сила тока превышает допустимое значение, то проволока плавится и цепь размыкается.
Если цепь содержит несколько последовательно соединённых источников тока (рис. 1.42),
то полная ЭДС в цепи равна алгебраической сумме ЭДС отдельных элементов:
Определим знак ЭДС отдельных элементов. При выбранном (произвольно) направлении обхода против часовой стрелки для цепи, схема которой изображена на рисунке 1.42, 1 > 0, 2 < 0 и 3 > 0, поэтому
Внутреннее сопротивление батареи, состоящей из последовательно соединённых элементов, равно сумме внутренних сопротивлений элементов:
Если батарея состоит из N одинаковых последовательно соединённых элементов с одинаковыми знаками ЭДС, то из формул (2) и (3) следует, что
где 6 и r6 — ЭДС и внутреннее сопротивление батареи; э и rэ — ЭДС и внутреннее сопротивление одного элемента.
Таким образом, последовательное соединение увеличивает общую ЭДС и увеличивает внутреннее сопротивление батареи.
Если цепь содержит несколько параллельно соединённых элементов (рис. 1.43),
то можно записать следующие формулы:
где N — число одинаковых ЭДС в цепи.
Таким образом, параллельное соединение N одинаковых источников тока не изменяет ЭДС батареи, если сравнивать с включённым в эту цепь одним источником тока с той же ЭДС. Однако при таком включении внутреннее сопротивление источника уменьшается в N раз.
Закон Oмa для участка цепи, содержащего ЭДС.
Наиболее общую форму имеет закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС (иногда его называют обобщённым законом Ома).
Рассмотрим участок цепи, содержащий гальванические элементы или аккумулятор, т. е. участок, на котором действуют сторонние силы. Таким участком является, например, участок ab (рис. 1.44).
Внутренние сопротивления источников 1, и 2 равны соответственно r1 и r2. Сила тока на участке равна I, ток течёт от точки а к точке b.
За время Δt через поперечное сечение проводника проходит заряд q = IΔt. При этом электрическое поле совершает работу Aπ = (φa - φb)q = (φa - φb)IΔt. Источники тока совершают работу Acт = |1|q - |2|q = (|1| - |2|)IΔt. За время Δt на участке цепи выделяется количество теплоты Q = I2(r1 + r2 + R1 + R2)Δt. Согласно закону сохранения энергии Aп + Aст = Q, поэтому
Сформулируем закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС.
Разность потенциалов на концах участка цепи равна падению напряжения на участке минус ЭДС этого участка.
Если неразветвленный участок цепи содержит п источников тока и N резисторов, то
Применяя закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС, придерживаются правила знаков.
1. Сила тока в правой части уравнения (5) считается положительной, если направление тока совпадает с направлением от a к b.
2. ЭДС считается положительной, если работа сторонних сил при перемещении единичного положительного заряда на данном участке цепи в направлении от а к Ь положительна. В случае гальванического элемента или аккумулятора ЭДС положительна, если этот заряд внутри источника перемещается от отрицательного электрода к положительному. C учётом этого в правой части уравнения (5) записывается сумма всех ЭДС по правилу знаков.
Применив закон Ома к участку 1—2 цепи, показанной на рисунке 1.41, получим φ1 - φ2 = Ir - . При разомкнутой цепи I = 0 и, следовательно, = φ2 - φ1. Таким образом, ЭДС элемента равна разности потенциалов между его полюсами при разомкнутой цепи.
Реостат.
Реостат представляет собой резистор с регулируемым сопротивлением (рис. 1.45).
Пусть часть цепи состоит из электрической лампы накаливания и последовательно соединённого с ней реостата (рис. 1.46).
C помощью реостата можно изменять общее сопротивление цепи: от максимального сопротивления, равного сумме сопротивлений реостата и лампы, до минимального, равного только сопротивлению лампы.
В общем случае
Если контакт 3 совпадает с контактом /, то
Если контакт 3 совпадает с контактом 2, то
где R12 — сопротивление реостата.
Таким образом, реостат позволяет плавно регулировать значение силы тока в цепи и в данном случае изменять степень накала нити лампы, включённой в цепь.
Потенциометр.
Потенциометр (делитель напряжения) — устройство, предназначенное для получения плавно изменяемого напряжения U от источника постоянного напряжения U0:
U ≤ U0 (рис. 1.47).
Точка D на схеме представляет собой скользящий контакт. При этом
URmin = 0 (когда контакт D соединён с точкой А),
URmax = U0 (когда контакт D соединён с точкой В).
Таким образом, потенциометр позволяет получать различные значения напряжения на нагрузке, которой в данном случае является резистор с сопротивлением R.
Вопросы:
1. Какое сопротивление называют:
а) внутренним;
б) внешним?
2. Чем определяется падение напряжения на участке цепи?
3. Сформулируйте и запишите закон Ома для полной цепи.
4. Как определить ЭДС и внутреннее сопротивление батареи, содержащей несколько:
а) последовательно соединённых элементов;
б) параллельно соединённых элементов?
5. Сформулируйте и запишите закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС.
6. Для чего используют:
а) реостат;
б) потенциометр?
Вопросы для обсуждения:
Почему при коротком замыкании напряжение на клеммах источника тока близко к нулю, хотя сила тока в цепи имеет наибольшее значение?
Пример решения задачи
Сила тока через аккумулятор в конце зарядки I1 = 4 А. При этом разность потенциалов на его клеммах U1 = 12,6 В. Сила тока короткого замыкания Iкз = 305 А. В начале разрядки того же аккумулятора сила тока I2 = 6 А. Какова при этом разность потенциалов U2 на его клеммах?
Рис. 1.48
Сила тока при коротком замыкании аккумулятора (рис. 1.48, б)
Схема разрядки аккумулятора на внешнюю нагрузку показана на рисунке 1.48, в. По закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС:
Из уравнений(1)и(2)найдём:
Подставим данные выражения в уравнение (3):
C учётом числовых данных получим
Ответ: U2 ≈ 12,2 В.
Упражнения:
1. К источнику тока с ЭДС 12 В и внутренним сопротивлением 1 Ом подключён резистор с сопротивлением 5 Ом. Найдите силу тока в цепи и напряжение на зажимах источника.
2. Чему равно внутреннее сопротивление источника тока, если его ЭДС составляет 1,2 В и при внешнем сопротивлении 5 Ом сила тока в цепи равна 0,2 А?
3. Определите разность потенциалов между точками A и B электрической цепи, схема которой приведена на рисунке 1.49. ЭДС каждого источника тока равна 1,5 В, внутреннее сопротивление каждого источника составляет 0,1 Ом.
4. Два одинаковых источника тока с ЭДС и внутренним сопротивлением r соединены так, как показано на рисунке 1.50. Определите показания приборов. Сопротивление амперметра принять равным нулю, а сопротивление вольтметра — бесконечно большим.
