11 класс
§ 44. Линзы. Формула тонкой линзы
Виды линз.
Прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями, называют линзой. В частном случае одна из поверхностей линзы может быть плоской. Линзы изготавливают из стекла, пластмасс, кварца, каменной соли и других прозрачных материалов. Линза может быть ограничена двумя выпуклыми сферическими поверхностями (двояковыпуклая линза, рис. 7.32, а), выпуклой сферической поверхностью и плоскостью (плоско-выпуклая линза, рис. 7.32, б), выпуклой и вогнутой сферическими поверхностями (вогнуто-выпуклая линза, рис. 7.32, в). Эти линзы посередине толще, чем у краёв, и все они называются собирающими или выпуклыми. Такие линзы преобразуют падающий на них параллельный пучок света в сходящийся.
Линзы, которые посередине тоньше, чем у краёв, называют вогнутыми. На рисунке 7.33 изображены три вида вогнутых линз: двояковогнутая (рис. 7.33, а), плоско-вогнутая (рис. 7.33, б) и выпукло-вогнутая (рис. 7.33, в). Вогнутые линзы при тех же условиях преобразуют параллельный пучок световых лучей в расходящийся. Поэтому такие вогнутые линзы являются рассеивающими.
Тонкая линза.
Если толщина линзы l = AB (рис. 7.34) пренебрежимо мала по сравнению с радиусами R1 и R2 кривизны поверхностей линзы и расстоянием предмета от линзы, то такую линзу называют тонкой.
В дальнейшем мы будем рассматривать только тонкие линзы.
Точки А и В — вершины сферических сегментов — в тонкой линзе расположены столь близко друг к другу, что их можно принять за одну точку, которую называют оптическим центром линзы и обозначают обычно буквой О (см. рис. 7.34). Луч света, который проходит через оптический центр линзы, практически не преломляется.
Прямую O1O2, проходящую через центры сферических поверхностей, которые ограничивают линзу, называют её главной оптической осью. Ясно, что главная оптическая ось тонкой линзы проходит через её оптический центр (см. рис. 7.34). Любая другая прямая, проходящая через оптический центр, является побочной оптической осью (рис. 7.35).
Главным фокусом линзы называют точку, в которой пересекаются после преломления линзой лучи, падающие на неё параллельно главной оптической оси (рис. 7.36, а). Лучи, параллельные главной оптической оси, можно направить на линзу и с противоположной стороны. Точка, в которой они сойдутся, пройдя линзу, является другим главным фокусом (рис. 7.36, б).
Следовательно, у линзы два главных фокуса. В однородной среде они располагаются по обе стороны линзы на одинаковом расстоянии от неё. Это расстояние называют фокусным расстоянием линзы и обозначают буквой F.
Отрицательное значение F (в случае рассеивающей линзы) означает, что фокус линзы мнимый, т. е. лучи, падающие на неё параллельно главной оптической оси, после преломления пойдут расходящимся пучком. Другими словами, в главном мнимом фокусе линзы сойдутся не сами преломлённые лучи, а их продолжения (рис. 7.37, а).
У рассеивающей линзы тоже два фокуса. Её второй мнимый главный фокус находится по другую сторону линзы на таком же расстоянии от неё, если среда по обе стороны линзы одна и та же (рис. 7.37, б).
Плоскость, проведённая через главный фокус линзы перпендикулярно главной оптической оси, называется фокальной плоскостью линзы. Так как у линзы два главных фокуса, то линза имеет и две фокальные плоскости, расположенные по обе стороны от линзы (рис. 7.38).
Когда на собирающую линзу падает пучок лучей, параллельных какой-либо побочной оптической оси, то после преломления в линзе он сходится на соответствующей побочной оптической оси в точке F' её пересечения с фокальной плоскостью (см. рис. 7.38). Если же в точке F', взятой на фокальной плоскости, поместить точечный источник света, то после преломления в линзе мы получим параллельные лучи (рис. 7.39).
Лучи, падающие параллельно побочной оси на рассеивающую линзу, расходятся так, что их продолжения сходятся на побочной оси в точке её пересечения F' с фокальной плоскостью (рис. 7.40). Фокальная плоскость рассеивающей линзы является мнимой. Этих плоскостей у линзы тоже две.
Изображение в линзе.
Подобно зеркалу, линза создаёт изображения источников света. Это означает, что свет, исходящий из какой-либо точки предмета (источника), после преломления в линзе снова собирается в одну точку (изображение), независимо от того, через какую часть линзы прошли лучи. Если по выходе из линзы лучи сходятся, то они образуют действительное изображение. В случае же, когда прошедшие через линзу лучи расходятся, пересекаются в одной точке не сами эти лучи, а их продолжения. Изображение в этом случае мнимое.
Заметим, что лучи или их продолжения будут пересекаться практически в одной точке, если они образуют малые углы с главной оптической осью. Все дальнейшие расчёты мы будем производить только для таких лучей.
Формула тонкой линзы.
Приведём без вывода формулу, выражающую связь между расстоянием d от светящейся точки до линзы, расстоянием f от изображения этой точки до линзы, показателем преломления п материала линзы относительно окружающей линзу среды и радиусами кривизны R1 и R2 поверхностей, ограничивающих линзу (рис. 7.41).
Выражение (1) называют формулой тонкой линзы. В случае вогнутой поверхности соответствующий член 1 / R входит в формулу (1) со знаком «минус». Плоская поверхность соответствует бесконечному радиусу кривизны, так что для неё 1 / R = 0.
Знак правой части формулы (1) определяет оптические свойства линзы. При положительной правой части линза является собирающей, при отрицательной — рассеивающей. У двояковыпуклой стеклянной линзы, находящейся в воздухе, (n - 1) > 0 и (1/R1 + 1 / R2) > 0. Поэтому она является собирающей. У двояковогнутой стеклянной линзы, находящейся в воздухе, (n - 1) > 0, a (1/R1 + 1 / R2) < 0. Следовательно, эта линза рассеивающая.
Из формулы (1) следует, что при удалении источника от линзы изображение приближается к линзе. Когда источник удалится настолько, что падающий пучок можно будет считать параллельным (d → ∞), изображение окажется в фокусе линзы на расстоянии от линзы
Оптическая сила линзы.
Величину, обратную главному фокусному расстоянию, называют оптической силой линзы. Её обозначают буквой D.
Чем ближе к линзе лежат её главные фокусы, тем сильнее линза преломляет лучи, собирая или рассеивая их, и тем больше и абсолютное значение оптической силы линзы.
В СИ единицей оптической силы линзы является диоптрия (дптр).
1 дптр — оптическая сила собирающей линзы, фокусное расстояние которой равно 1 м. Поскольку фокусное расстояние рассеивающей линзы считают отрицательным, то её оптическая сила отрицательна.
Оптическая сила системы близко расположенных тонких линз равна алгебраической сумме оптических сил линз, входящих в систему:
D = D1 + D2 + ... + Dn.
Используя понятие фокусного расстояния или понятие оптической силы, формулу тонкой линзы можно записать в виде
Таким образом, зная расстояние от источника до линзы и фокусное расстояние (положения фокусов), можно определить расстояние до изображения, не прибегая к рассмотрению хода лучей внутри линзы.
Правило знаков при использовании формулы тонкой линзы.
Если линза собирающая, то её фокус действительный и перед членом 1 / F ставится знак «плюс». В случае рассеивающей линзы перед ним ставится знак «минус». Перед членом 1 / f ставится знак «плюс», если изображение является действительным, и знак «минус», если изображение мнимое. В том случае, когда F или f неизвестны, перед членами 1 / F или 1 / f ставится знак «плюс». Если в результате вычислений фокусного расстояния или расстояния до изображения получается отрицательная величина, то это означает, что фокус или изображение является мнимым. Сказанное относится и к величине d. Для мнимого источника 1 d < 0.
1 Мнимым источником называют точку, в которой сходятся продолжения лучей, падающих на линзу сходящимся пучком. Такая ситуация встречается в системе линз, когда до данной линзы лучи проходят через другую линзу.
Вопросы:
1. Какую линзу называют тонкой?
2. Чем отличается главная оптическая ось линзы от побочной оптической оси?
3. Как называют точку, в которой пересекаются после преломления линзой лучи, падающие на неё параллельно главной оптической оси?
4. Между какими физическими величинами устанавливает связь формула топкой линзы?
5. Какую физическую величину называют оптической силой линзы?
6. Каким образом учитывается в формуле топкой линзы правило знаков?
Вопросы для обсуждения:
1. Всегда ли двояковыпуклая линза является собирающей, а двояковогнутая — рассеивающей?
2. Собирающую стеклянную линзу погрузили в воду. Как при этом изменилась оптическая сила линзы?
Пример решения задачи
Стеклянная линза имеет в воздухе (n2 = 1) оптическую силу D = 5 дптр. Найдите оптическую силу той же линзы, полностью погружённой в воду. Показатель преломления стекла n1 = 1,5, показатель преломления воды n3 = 1,33.
Разделив почленно выражение (2) на выражение (1), получим
C учётом числовых данных запишем:
Ответ: D2 ≈ 1.28 дптр.
Упражнения:
1. Найдите главное фокусное расстояние и оптическую силу двояковыпуклой линзы с радиусами кривизны, равными 30 см каждый, изготовленной из стекла с показателем преломления 1,5.
2. Найдите фокусное расстояние стеклянной линзы, погружённой в воду, если её фокусное расстояние в воздухе равно 20 см. Показатель преломления стекла 1,6.
3. Из стекла с показателем преломления 1,54 требуется изготовить двояковыпуклую линзу с фокусным расстоянием 10 см. Какими должны быть радиусы кривизны поверхностей линзы, если известно, что один из них в 1,5 раза больше другого?
4. На каком расстоянии от собирающей линзы с фокусным расстоянием 15 см получится изображение предмета, если расстояние от предмета до линзы равно 20 см?
5. Из двух стёкол с показателями преломления 1,5 и 1,7 сделаны две одинаковые двояковыпуклые линзы. Найдите отношение их фокусных расстояний. Какое действие каждая из этих линз произведёт на луч, падающий на них параллельно главной оптической оси, если погрузить линзы в прозрачную жидкость с показателем преломления 1,6?
6. Найдите фокусное расстояние линзы, изготовленной из стекла (флинта) (рис. 7.42), если AB = 10 см, CD = 1 см. Линзу считать тонкой. Каким будет фокусное расстояние этой линзы, если её погрузить в воду (n = 1,33)?
