11 класс
§ 62. Постулаты Бора. Модель атома водорода по Бору
Постулаты Бора.
Выход из крайне затруднительного положения в теории атома был найден в 1913 г. Н. Бором на пути дальнейшего развития квантовых представлений о процессах в природе. Бор сформулировал основные положения новой теории атома, используя планетарную модель атома и квантовую гипотезу Планка. Причём и законы классической физики не отвергались им безоговорочно.
В основу своей теории атома Бор положил следующие постулаты 1:
1 Постулаты Бора были экспериментально подтверждены в опытах немецких физиков Джеймса Франка (1882—1964) и Густава Герца (1887—1975) в 1913 г.
Первый постулат Бора.
Атомная система может находиться только в особых стационарных, или квантовых, состояниях, каждому из которых соответствует определённая энергия En. В стационарном состоянии атом не излучает и не поглощает энергию.
Этот постулат находится в явном противоречии с классической механикой, согласно которой энергия движущихся электронов может быть любой. Противоречит он и электродинамике Максвелла, так как допускает возможность ускоренного движения электронов без излучения ими электромагнитных волн.
Второй постулат Бора.
Излучение света происходит при переходе атома из стационарного состояния с большей энергией Em в стационарное состояние с меньшей энергией En. Энергия излучённого фотона равна разности энергий стационарных состояний.
Отсюда можно выразить частоту излучения:
При поглощении света атом переходит из стационарного состояния с меньшей энергией в стационарное состояние с большей энергией.
Второй постулат Бора противоречит электродинамике Максвелла, так как частота излучённого света свидетельствует не об особенностях движения электрона, а лишь об изменении энергии атома.
Модель атома водорода по Бору.
Свои постулаты Бор применил для разработки теории атома водорода. В атоме водорода один электрон движется вокруг ядра по круговой орбите. Ядро атома водорода представляет собой один протон с зарядом Ze = е (так как Z = 1). Бор рассматривал простейшие круговые орбиты. Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром определяется формулой
где k — коэффициент пропорциональности, равный 9 ∙ 109 H ∙ м2/Кл2; е — модуль заряда электрона; r — расстояние от электрона до ядра (радиус орбиты). Потенциальная энергия взаимодействия бесконечно удалённых зарядов здесь принята равной нулю. Потенциальная энергия отрицательна, так как взаимодействующие частицы имеют заряды противоположных знаков.
Полная энергия E атома, согласно механике Ньютона, равна сумме кинетической и потенциальной энергий:
Между скоростью электрона и радиусом его орбиты существует связь, которую можно установить на основе второго закона Ньютона. Центростремительное ускорение υ2 / r сообщает электрону на орбите кулоновская сила. Поэтому
Подставляя значение скорости, найденное из соотношения (2), в формулу (1), получим выражение для полной энергии атома:
Из первого постулата Бора следует, что энергия может принимать только определённые дискретные значения En. Поэтому, согласно выражению (3), и радиусы орбит в атоме водорода не могут быть произвольными.
При движении электрона по круговой орбите модуль его импульса meυ и радиус орбиты r остаются неизменными. Следовательно, постоянной будет и величина mυr. В механике её называют моментом импульса. Бор обратил внимание на то, что наименование постоянной Планка совпадает с наименованием единицы момента импульса: 1 Дж ∙ c = 1 кг ∙ м/с ∙ м.
Бор предположил, что произведение модуля импульса на радиус орбиты кратно постоянной Планка ħ.
meυr = nħ,
где n = 1, 2, 3, ... .
В этом и заключается правило квантования орбит (или третий постулат Бора). Оно устанавливает возможные радиусы орбит и соответственно возможные значения энергии в атоме.
Число n называют главные квантовым числом.
C помощью правила квантования можно, исключив скорость из формулы (2), получить выражение для радиусов круговых стационарных (боровских) орбит:
Радиусы боровских орбит меняются дискретно с изменением числа n (рис. 10.18).
Постоянная Планка, масса и заряд электрона определяют возможные значения электронных орбит. Учитывая, что масса электрона me = 9,1 ∙10-28 г, найдём наименьший (n = 1) радиус орбиты (первый боровский радиус):
Подставляя выражение (4) для радиусов орбит в формулу (3), получим дискретные (прерывные) значения энергий стационарных состояний атома (энергетические уровни):
В низшем энергетическом состоянии (n = 1)
Для наглядного представления энергетических уровней атома используют энергетическую диаграмму. На ней каждый энергетический уровень изображают в виде горизонтальной линии, перпендикулярной оси, на которой указывают значение энергии данного уровня. На рисунке 10.19 в качестве примера приведена энергетическая диаграмма атома водорода.
Сверху на диаграмме проведена линия, соответствующая нулевому значению энергии атома водорода: E = 0.
В произвольном масштабе от этой линии откладывают вниз значения энергии атома водорода в стационарных состояниях:
Стационарное состояние атома с минимальным значением энергии (n = 1) называют основным или нормальным состоянием. Все остальные стационарные состояния являются возбуждёнными.
Из рисунка 10.19 видно, что с ростом rn, т. е. с увеличением n или с переходом электрона на более дальние орбиты его энергия возрастает, атом переходит во всё более возбуждённое состояние. При n ⟶ ∞ радиус орбиты rn ⟶ ∞ и E ⟶ 0 (электрон удаляется от ядра на бесконечно большое расстояние). Наибольшее значение энергии при n ⟶ ∞ соответствует энергии ионизации атома, т. е. отрыву от него электрона (для атома водорода энергия ионизации равна 13,6 эВ).
Если в основном состоянии атом может находиться бесконечно долго, то время жизни в возбуждённом состоянии составляет 10-7 — 10-9 с. C течением времени атом, находящийся в возбуждённом состоянии, самопроизвольно переходит в стационарное состояние с меньшей энергией.
Линейчатые спектры.
При изучении явления дисперсии мы узнали, что узкий пучок белого (солнечного) света, проходя через стеклянную треугольную призму, образует на экране сплошной {непрерывный) спектр (рис. 10.20, а). Однако спектры бывают не только сплошными. Внесём в бледное пламя газовой горелки кусочек асбеста, смоченного раствором обыкновенной поваренной соли. При наблюдении пламени в спектроскоп на фоне едва различимого непрерывного спектра пламени вспыхнет яркая жёлтая линия (рис. 10.20, б). Эту жёлтую линию дают пары натрия, которые образуются при расщеплении молекул поваренной соли в пламени. На рисунке 10.20, в, г приведены также спектры водорода и гелия. Каждый из них представляет собой цветные линии различной яркости, разделённые широкими тёмными полосами. Такие спектры называют линейчатыми.
Наличие линейчатого спектра означает, что вещество излучает свет только вполне определённых длин волн (точнее, в определённых очень узких спектральных интервалах). Линейчатые спектры дают все вещества в газообразном атомарном (но не молекулярном) состоянии. В этом случае свет излучают атомы, которые практически не взаимодействуют друг с другом. Все вещества, атомы которых находятся в возбуждённом состоянии, излучают световые волны, энергия которых определённым образом распределена по длинам волн.
Поглощение света веществом также зависит от длины волны. Если пропускать белый свет сквозь холодный, неизлучающий газ, то на фоне непрерывного спектра источника появляются тёмные линии (на рис. 10.20, д показаны спектры поглощения водорода, а на рис. 10.20, е — гелия). Газ поглощает наиболее интенсивно свет как раз тех длин волн, которые он испускает в сильно нагретом состоянии. Тёмные линии на фоне непрерывного спектра — это линии поглощения, образующие в совокупности спектр поглощения.
Согласно второму постулату Бора, возможные частоты излучения атома водорода определяются формулой
где 
— так называемая постоянная Ридберга, определяемая через постоянную Планка, массу и заряд электрона.
Впервые формула, позволяющая вычислить длины волн или частоты света, испускаемого атомом водорода, была экспериментально найдена швейцарским учёным Иоганном Бальмером (1825—1898) в 1885 г. Все частоты видимой части спектра излучения водорода удовлетворяют формуле (5).
Все частоты излучений атома водорода образуют ряд серий, каждой из которых соответствуют определённое значение числа n и различные значения числа m > n. Излучение частот данной серии происходит при переходах с высших энергетических уровней на один из низших. Переходы в первое возбуждённое состояние (на второй энергетический уровень) с верхних уровней образуют серию Бальмера. Впоследствии были найдены аналогичные серии спектральных линий в области ультрафиолетового и инфракрасного излучений.
Теория Бора позволила рассчитать спектр атома водорода и водородоподобных ионов, т. е. ионизированных атомов с зарядом ядра Ze и одним электроном (например, Не+, Li++ и т. д.). Однако с её помощью не удалось описать спектр атома гелия — атома, следующего за атомом водорода в Периодической системе химических элементов Д. И. Менделеева. Тем не менее модель атома Бора способствовала созданию современной квантовой теории.
Вопросы:
1. Сформулируйте постулаты Бора.
2. В чём заключается правило квантования?
3. Что называют энергией ионизации? Чему она равна для атома водорода?
4. Опишите энергетическую диаграмму атома водорода, представленную на рисунке 10.19.
5. Какое стационарное состояние называют:
а) основным;
б) возбуждённым?
6. Что представляют собой линейчатые спектры?
Вопросы для обсуждения:
1. Почему теорию Бора иногда называют полуклассической теорией строения атома?
2. Почему спектры излучения разных веществ отличаются друг от друга?
3. Какой спектр, № 1 или № 2 (рис. 10.21), содержит:
а) водород;
б) гелий;
в) аргон?
Пример решения задачи
Каким должно быть значение минимальной энергии фотона, поглощённого атомом водорода, который находится в основном состоянии, чтобы в излучении атома при обратном переходе электрона на второй энергетический уровень наблюдалось шесть линий спектра?
Тогда для наблюдения в излучении шести линий спектра число m должно принимать шесть значений — от m = 3 до m = 8. Для этого необходимо, чтобы электрон в атоме водорода перешёл с первого (основного) энергетического уровня на восьмой. Этот переход соответствует минимальной энергии поглощённого фотона:
Ответ: Aνmin ≈ 13,4 эВ.
Упражнения:
1. При переходе электрона в атоме водорода с одного энергетического уровня на другой был излучён свет с частотой 4,57 ∙ 1014 Гц. Нa сколько уменьшилась энергия атома?
2. При переходе атома водорода из четвёртого энергетического состояния во второе излучаются фотоны с энергией 2,55 эВ (зелёная линия спектра водорода). Определите длину волны этой линии спектра.
3. Под действием бомбардирующих электронов с кинетической энергией 1,892 эВ водород светится. Определите длину волны излучения. Какого цвета линия получена в спектре?
4. При облучении паров ртути электронами энергия атома ртути увеличивается на 4,9 эВ. Чему равна длина волны излучения, которое испускают атомы ртути при переходе в невозбуждённое состояние?
