Урок 19
Упрощение логических выражений
§21. Упрощение логических выражений
Содержание урока
Законы алгебры логики
Законы алгебры логики
Для упрощения логических выражений используют законы алгебры логики. Они формулируются для базовых логических операций — «НЕ», «И» и «ИЛИ».
Закон двойного отрицания означает, что операция «НЕ» обратима: если применить ее два раза, логическое значение не изменится. Закон исключённого третьего основан на том, что в классической (двузначной) логике любое логическое выражение либо истинно, либо ложно («третьего не дано»). Поэтому если А = 1, то А = 0 (и наоборот), так что произведение этих величин всегда равно нулю, а сумма — единице.
Операции с константами и закон повторения легко проверяются по таблицам истинности операций «И» и «ИЛИ». Переместительный и сочетательный законы выглядят вполне привычно, так же, как и в арифметике. Почти везде «работает» аналогия с алгеброй чисел, нужно только помнить, что в логике 1 + 1 = 1, а не 2.
Распределительный закон для операции «ИЛИ» — это обычное раскрытие скобок. А вот для операции «И» мы видим незнакомое выражение, в алгебре чисел это равенство неверно. Доказательство можно начать с правой части, раскрыв скобки:
(А + В) • (А + С) = А • А + А • С + В • А + В • С.
Дальше используем закон повторения (А • А = А) и заметим, что
А + А • С = А • (1 + С) = А • 1 = А.
Аналогично доказываем, что А + В • А = А • (1 + В) = А, таким образом,
(А + В) • (А + С) = А + В • С.
Равенство доказано. Попутно мы доказали также и закон поглощения для операции «И» (для операции «ИЛИ» вы можете сделать это самостоятельно). Отметим, что из распределительного закона следует полезное тождество:
А + А • В = (А + А) • (А + В) = А + В.
Правила, позволяющие раскрывать отрицание сложных выражений, названы в честь шотландского математика и логика Огастеса (Августа) де Моргана. Обратите внимание, что при этом не просто «общее» отрицание переходит на отдельные выражения, но и операция «И» заменяется на «ИЛИ» (и наоборот). Доказать законы де Моргана можно с помощью таблиц истинности.
Теперь с помощью приведённых законов алгебры логики упростим полученное ранее логическое выражение для объединения областей 3 и 4 на диаграмме с тремя переменными (§ 20, рис. 3.15):
(А • В • C) + А • В • C = (А + А) • В • C = В • C.
Здесь мы сначала вынесли общий множитель двух слагаемых за скобки, а затем применили закон исключённого третьего.
В общем случае можно рекомендовать такую последовательность действий.
1. Заменить все «небазовые» операции (исключающее ИЛИ, импликацию, эквивалентность и др.) на их выражения через базовые операции «НЕ», «И» и «ИЛИ».
2. Раскрыть отрицания сложных выражений по законам де Моргана так, чтобы операции отрицания остались только у отдельных переменных.
3. Используя вынесение общих множителей за скобки, раскрытие скобок и другие законы алгебры логики, упростить выражение.
Пример
(А + B) • (А + B) • (А + С)=(А + B) • А • B • (А + C = (А • А + B • А) • B • (А + С) = B • А • B • (А + С) = А • B • B • (А + С) = B • А • (А + С) = B • (А.
Здесь последовательно использованы закон де Моргана, распределительный закон, закон исключённого третьего, переместительный закон, закон повторения, снова переместительный закон и закон поглощения.
Следующая страница 
Логические уравнения
Cкачать материалы урока
