Уроки 52 - 55
Модели оптимального планирования (§20)
Практическая работа № 3.6. "Решение задачи оптимального планирования
Содержание урока
Модели оптимального планирования (§20)
Оптимальное планирование
Практическая работа № 3.6 Решение задачи оптимального планирования
Модели оптимального планирования (§20)
Оптимальное планирование
Проблема, к обсуждению которой мы теперь переходим, называется оптимальным планированием. Объектами планирования могут быть самые разные системы: деятельность отдельного предприятия, отрасли промышленности или сельского хозяйства, региона, наконец государства. Постановка задачи планирования выглядит следующим образом:
• имеются некоторые плановые показатели: X, Y, и др.;
• имеются некоторые ресурсы: R1, R2 и др., за счет которых эти плановые показатели могут быть достигнуты. Эти ресурсы практически всегда ограничены;
• имеется определенная стратегическая цель, зависящая от значений X, Y и др. плановых показателей, на которую следует ориентировать планирование.
Нужно определить значение плановых показателей с учетом ограниченности ресурсов при условии достижения стратегической цели. Это и будет оптимальным планом.
Приведем примеры. Пусть объектом планирования является детский сад. Ограничимся лишь двумя плановыми показателями: количеством детей и количеством воспитателей. Основными ресурсами деятельности детского сада являются объем финансирования и площади помещения. А каковы стратегические цели?
Естественно, одной из них является сохранение и укрепление здоровья детей. Количественной мерой такой цели является минимизация заболеваемости воспитанников детского сада.
Другой пример: планирование экономической деятельности государства. Безусловно, это слишком сложная задача для того, чтобы нам с ней полностью разобраться. Плановых показателей очень много: это производство различных видов промышленной и сельскохозяйственной продукции, подготовка специалистов, выработка электроэнергии, размер зарплаты работников бюджетной сферы и многое другое. К ресурсам относятся: количество работоспособного населения, бюджет государства, природные ресурсы, энергетика, возможности транспортных систем и пр. Как вы понимаете, каждый из этих видов ресурсов ограничен. Кроме того, важнейшим ресурсом является время, отведенное на выполнение плана. Вопрос о стратегических целях довольно сложный. У государства их много, но в разные периоды истории приоритеты целей могут меняться.
Например, в военное время главной целью является максимальная обороноспособность, военная мощь страны. В мирное время в современном цивилизованном государстве приоритетной целью должно быть достижение максимального уровня жизни населения.
Если мы хотим использовать компьютер для решения задачи оптимального планирования, то нам снова нужно построить математическую модель. Следовательно, всё, о чем говорилось в примерах, должно быть переведено на язык чисел, формул, уравнений и других средств математики. В полном объеме для реальных систем эта задача очень сложная. Как и раньше, мы пойдем по пути упрощения. Рассмотрим очень простой пример, из которого вы получите представление об одном из подходов к решению задачи оптимального планирования.
Пример. Школьный кондитерский цех готовит пирожки и пирожные. В силу ограниченности емкости склада за день можно приготовить в совокупности не более 700 штук изделий. Рабочий день в кондитерском цехе длится 8 часов. Производство пирожных более трудоемко, поэтому если выпускать только их, за день можно произвести не более 250 штук, пирожков же можно произвести 1000 штук (если при этом не выпускать пирожных). Стоимость пирожного вдвое выше, чем стоимость пирожка. Требуется составить такой дневной план производства, чтобы обеспечить наибольшую выручку кондитерского цеха.
Разумеется, это чисто учебный пример. Вряд ли существует такой кондитерский цех, который выпускает всего два вида продукции, да и наибольшая выручка — не единственная цель его работы. Но зато математически формулировка задачи будет простой. Давайте ее выработаем.
Плановыми показателями являются:
• х — дневной план выпуска пирожков;
• у — дневной план выпуска пирожных.
Что в этом примере можно назвать ресурсами производства? Из того, о чем говорится в условии задачи, это:
• длительность рабочего дня — 8 часов;
• вместимость складского помещения — 700 мест.
Предполагается для простоты, что другие ресурсы (сырье, электроэнергия и пр.) не ограничены. Формализацию цели (достижение максимальной выручки цеха) мы обсудим позже.
Получим соотношения, следующие из условий ограниченности времени работы цеха и вместимости склада, т. е. суммарного числа изделий.
Из постановки задачи следует, что на изготовление одного пирожного затрачивается в 4 раза больше времени, чем на выпечку одного пирожка. Если обозначить время изготовления пирожка как t мин, то время изготовления пирожного будет равно 41 мин. Значит, суммарное время на изготовление х пирожков и у пирожных равно
tx + 4ty = (х + 4y)t.
Но это время не может быть больше длительности рабочего дня. Отсюда следует неравенство:
(х + 4y)t ≤ 8 • 60,
или
(х + 4y)t ≤ 480.
Легко посчитать t — время изготовления одного пирожка. Поскольку за рабочий день их может быть изготовлено 1000 штук, на один пирожок тратится 480/1000 = 0,48 мин. Подставляя это значение в неравенство, получим:
(х + 4у) • 0,48 ≤ 480.
Отсюда
х + 4у ≤ 1000.
Ограничение на общее число изделий дает совершенно очевидное неравенство:
х + у ≤ 700.
К двум полученным неравенствам следует добавить условия положительности значений величин х и у (не может быть отрицательного числа пирожков и пирожных). В итоге получим систему неравенств:
Следующая страница 
Целевая функция
