Меню сайта

10 класс

Глава 4. Законы сохранения в механике

Какую бы систему взаимодействующих тел мы ни рассматривали (Солнечная система или сталкивающиеся бильярдные шары), у тел этой системы с течением времени непрерывно изменяются координаты и скорости в ИСО. При этом в системе тел, на которую не действуют внешние силы (такую систему называют замкнутой), имеется ряд величин, зависящих от координат и скоростей (но не ускорений) всех тел системы, которые при движении тел не изменяются со временем. К таким сохраняющимся величинам относятся импульс, механическая энергия и момент импульса. Они подчиняются соответствующим законам сохранения. В данной главе мы рассмотрим закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии.

Законы сохранения в механике позволяют без рассмотрения действующих на тела сил и без изучения движения тел системы решать ряд практически важных задач. Кроме того, открытые в механике законы сохранения импульса, энергии и момента импульса широко используются и в других разделах физики.

§ 23. Импульс материальной точки. Другая формулировка второго закона Ньютона

Импульс материальной точки.

Второй закон Ньютона m = можно записать в иной форме, которая была приведена самим Ньютоном в книге «Математические начала натуральной философии». Если на тело (материальную точку) действует постоянная сила, то в этом случае постоянным является и ускорение :

= ₂ - ₁ / Δt,

где ₁ — начальная скорость; ₂ — конечная скорость движения тела.

Подставив это выражение во второй закон Ньютона, получим:

В уравнении (1) появляется новая физическая величина — импульс материальной точки.

Обозначим импульс буквой . Тогда

Из формулы (2) видно, что импульс — векторная величина. Так как m > 0, то импульс имеет то же направление, что и скорость (рис. 4.1). Единицей импульса в СИ является килограмм-метр в секунду (кг • м/с).

Второй закон динамики в формулировке Ньютона

Обозначим через ₁ = m₁ — импульс материальной точки в начальный момент промежутка времени Δt, а через ₂ = m₂ — её импульс в конечный момент этого промежутка. Тогда величина ₂ - ₁ = Δ будет представлять собой изменение импульса за время Δt.

C учётом этого уравнение (1) можно записать в следующем виде:

В силу того, что Δt > 0, направления векторов Δ и совпадают.

Именно так был впервые сформулирован второй закон Ньютона.

Произведение силы на время её действия иногда называют импульсом силы. При этом не следует путать импульс m материальной точки и импульс силы Δt. Это разные понятия. Единица импульса силы в СИ — ньютон-секунда (Н • с).

Из уравнения (3) следует, что одинаковые изменения импульса тела могут быть получены в результате действия большой (по величине) силы в течение малого промежутка времени или малой (по величине) силы за большой промежуток времени. Например, для безопасного прыжка спортсмена с высоты важно, чтобы остановка его движения при соприкосновении с Землёй (или полом) происходила постепенно, за больший интервал времени. Чем больше продолжительность столкновения спортсмена с опорой, тем меньше по модулю тормозящая сила. Вот почему при прыжках в высоту спортсмены приземляются на мягкие маты. Прогибаясь, они постепенно тормозят спортсмена.

Приведённая формулировка второго закона Ньютона справедлива не только для случая действия постоянной силы, но и для переменной силы, т. е. изменяющейся с течением времени. Для этого весь промежуток времени Δt действия силы необходимо разделить на столь малые интервалы Δt_i, чтобы на каждом из них значение силы можно было считать постоянным. Для каждого малого интервала времени справедлива формула (3).

Суммируя изменения импульсов за малые интервалы времени, можно получить:

---

* Символ Σ (греческая буква «сигма») означает «сумма». Индексы і = 1 (внизу) и N (наверху) показывают, что суммируется N слагаемых.

Изменение импульса системы тел (материальных точек).

Совокупность тел, движение которой мы изучаем, называют механической системой или просто системой. Импульс системы тел (материальных точек) равен векторной сумме импульсов всех тел.

Для определения импульса тела необходимо мысленно разбить тело на отдельные элементы (материальные точки), найти импульсы полученных элементов, а затем их просуммировать, как векторы. В этом случае импульс тела будет равен сумме импульсов его отдельных элементов.

Рассмотрим систему, состоящую из трёх тел. На них действуют внешние силы _i (і — номер тела; например ₂ — это сумма внешних сил, действующих на тело номер два). Между телами системы действуют силы _ik, называемые внутренними силами (рис. 4.2).

Здесь первая буква і в индексе означает номер тела, на которое действует сила _ik, а вторая буква k — номер тела, со стороны которого действует данная сила. На основе третьего закона Ньютона можно записать:

Вследствие действия сил на тела системы их импульсы изменяются. Если за малый промежуток времени сила заметно не меняется, то для каждого тела системы можно записать изменение импульса в форме уравнения (3):

В левой части каждого уравнения стоит изменение импульса тела _i = m_ii, за малый промежуток времени Δt:

где _iн — скорость движения тела системы в начале интервала времени Δt, а _iк — скорость движения тела системы в конце этого интервала.

Если сложить левые и правые части уравнений (5) и провести необходимые математические преобразования, то можно показать, что

где Δ_c — изменение импульса системы тел.

Но силы взаимодействия любой пары тел в сумме дают нуль, так как согласно формуле (4):

Поэтому Δ_c равно импульсу внешних сил:

Мы пришли к важному выводу: импульс системы тел могут изменить только внешние силы, причём изменение импульса системы пропорционально сумме внешних сил и совпадает с ней по направлению. Внутренние силы, изменял импульсы отдельных тел системы, не изменяют суммарный импульс системы.

Уравнение (6) справедливо для любого интервала времени, если сумма внешних сил остаётся постоянной.

Вопросы:

1. Какую физическую величину называют импульсом материальной точки?

2. Куда направлен вектор импульса материальной точки?

3. Как был впервые сформулирован второй закон Ньютона?

4. Как можно найти импульс системы тел?

5. Какие силы могут изменить импульс системы тел?

Вопросы для обсуждения:

1. В каком направлении станет перемещаться аэростат, если по свисающей с него лестнице начнёт подниматься человек с постоянной скоростью относительно лестницы?

2. В цирковом аттракционе атлету, лежащему на ковре, устанавливают на грудь наковальню и затем бьют по ней молотком. Опасны ли такие удары для атлета?

3. К пристани на озере приближаются две одинаковые лодки. Оба лодочника подтягиваются к пристани с помощью верёвки (рис. 4.3). Противоположный конец верёвки первой лодки привязан к тумбе на пристани. Матрос, находящийся на пристани, тянет к себе конец верёвки второй лодки. Все трое прилагают одинаковые усилия. Какая лодка причалит раньше?