Меню сайта

10 класс

§ 24. Закон сохранения импульса. Реактивное движение

Закон сохранения импульса.

Рассмотрим следствие из уравнения , полученного в § 23 "Импульс материальной точки. Другая формулировка второго закона Ньютона". Если сумма внешних сил, действующих на систему тел, равна нулю, то равно нулю и изменение импульса системы: Δ_c = 0. Это означает, что, какой бы интервал времени мы ни взяли, суммарный импульс системы тел в начале этого интервала _н и в его конце _к один и тот же: _н = _к.

Таким образом, импульс системы тел остаётся неизменным (сохраняется):

Сформулируем закон сохранения импульса.

Другими словами, тела системы могут только обмениваться импульсами, суммарное же значение импульса системы не изменяется. Важно понимать, что сохраняется векторная сумма импульсов, а не сумма их модулей.

Закон сохранения импульса является следствием второго и третьего законов Ньютона.

C учётом этого понятия закон сохранения импульса можно сформулировать следующим образом.

Отметим, что закон сохранения импульса выполняется для ИСО.

Но область применения закона сохранения импульса шире: если даже на тела системы действуют внешние силы, но их сумма равна нулю, импульс системы тел всё равно сохраняется. Полученный результат можно обобщить на случай системы, содержащей произвольное число N тел:

где _iн — скорости тел в начальный момент времени, а _iк — в конечный.

Так как импульс — векторная величина, то это уравнение представляет собой компактную запись трёх уравнений для проекций импульса системы тел на координатные оси.

Однако в действительности найти замкнутую систему тел практически невозможно. Несмотря на это, закон сохранения импульса можно применять в следующих трёх случаях.

1. Если векторная сумма всех внешних сил, действующих на тела системы, равна нулю, то начальный импульс _н системы тел равен конечному импульсу _к этой системы: _н = _к.

2. В некоторых случаях импульс системы тел не сохраняется. Но при этом может сохраняться его проекция на одну из координатных осей. Если сумма проекций внешних сил на некоторое направление (например, ось X) равна нулю, то в проекции только на это направление (ось X) можно записать: p_нx = p_кx. В этой записи речь идёт о проекции начального и конечного импульсов системы тел.

Например, система тел па Земле или вблизи её поверхности не является замкнутой, так как на все тела действует сила тяжести, которая изменяет импульс системы по вертикали. Однако вдоль горизонтального направления сила тяжести не может изменять импульс, и сумма проекций импульсов тел на горизонтально направленную ось будет оставаться неизменной (сохраняться), если действием сил сопротивления можно пренебречь.

3. Если продолжительность взаимодействия тел системы мала, а возникающие при этом процессе внутренние силы велики, как, например, при ударе, взрыве и т. п., то за это малое время импульсом внешних сил можно пренебречь. Фактически изменение импульса каждого тела системы обусловлено действием только внутренних сил. В итоге импульс системы тел остаётся постоянным. Так, значения скорости осколков снаряда при взрыве в зависимости от калибра может изменяться в пределах 600—1000 м/с. Интервал времени, за который сила тяжести смогла бы сообщить телам такую скорость, равен

Внутренние же силы давления газов сообщают такие скорости за 0,01 с, т. е. в 10 000 раз быстрее.

Реактивное движение.

Большое значение имеет закон сохранения импульса для исследования реактивного движения. Под реактивным движением понимают движение тела, возникающее при отделении некоторой его части с определённой скоростью относительно тела, например при истечении продуктов сгорания из сопла́ реактивного летательного аппарата. При этом появляется так называемая реактивная сила, сообщающая телу ускорение.

Примером реактивного движения является движение ракеты (рис. 4.4, а).

Главная особенность реактивной силы состоит в том, что она возникает без какого-либо взаимодействия с внешними телами. При этом происходит взаимодействие между ракетой и вытекающей из неё струёй вещества.

При истечении продуктов сгорания топлива они за счёт давления в камере сгорания приобретают некоторую скорость относительно ракеты и, следовательно, некоторый импульс m_тт (рис. 4.4, б). Поэтому, в соответствии с законом сохранения импульса, сама ракета получает такой же по модулю импульс m_pp, но направленный в противоположную сторону. Отсюда следует, что чем больше скорость _т и масса m_т выбрасываемых продуктов сгорания топлива, тем больше модуль импульса ракеты m_pp.

Таким образом, принцип реактивного движения основан на том, что истекающие из реактивного двигателя продукты сгорания топлива получают импульс. Такой же по модулю импульс приобретает и ракета.

Вопросы:

1. Приведите примеры внутренних и внешних сил.

2. Сформулируйте закон сохранения импульса.

3. При каких условиях выполняется закон сохранения импульса?

4. Какие системы тел называют замкнутыми?

5. Какое движение тела является реактивным? Приведите примеры такого движения.

Вопросы для обсуждения:

1. Как космонавту, находящемуся в открытом космосе, вернуться на космический корабль без посторонней помощи?

2. Почему пуля, вылетевшая из ружья, не разбивает оконное стекло на осколки, а образует в нём круглое отверстие?

3. Один из самых ранних проектов парового автомобиля (рис. 4.5) предложил Ньютон. Объясните принцип его действия.

Пример решения задачи

На горизонтальной поверхности стоит ящик с песком массой 7 кг. Шарик массой 1 кг, летящий под углом 15° к горизонту со скоростью 6 м/с, попадает в песок и застревает в нём. Найдите скорость ящика сразу после удара и расстояние, пройденное им до остановки. Коэффициент трения скольжения между ящиком и горизонтальной поверхностью равен 0,05. Считайте, что за время удара импульсом силы трения в условиях данной задачи можно пренебречь.

Проекция на ось OX начального импульса системы равна:

Проекция на ось OX импульса системы сразу после удара равна:

Подставим выражения (2) и (3) в уравнение (1):

Отсюда скорость ящика сразу после удара:

Подставляя числовые данные, получим

Проверим, действительно ли можно было пренебречь импульсом силы трения за время удара и считать, что проекция импульса системы на ось OX сохраняется. 

Рассмотрим малый промежуток времени Δτ при соударении. Изменение импульса системы за время Δτ равно импульсу внешних сил:

Силы тяжести постоянны, поэтому их импульсами за малое время Δτ можно пренебречь. Учитывая, что F_тр = μN запишем уравнение (4) в проекциях на оси OX и OY:

Таким образом, Δp_x = -μΔp_y. Поскольку это соотношение выполняется для любого малого Δτ при соударении, то оно справедливо и для всего времени соударения. Так как F_тр = mυcos α, p_2x = (М + m)u₀, p_1y = -mυcos α, p_2y = 0, получим

C учётом числовых данных

Воспользовавшись ранее условием сохранения горизонтального импульса, мы также получили значение u₀ ≈ 0,7 м/с. Значит, импульсом силы трения за время удара при данных значениях μ и α можно было пренебречь. Это оказалось возможным в силу того, что cos α >> μsin α.

Запишем второй закон Ньютона для движения ящика с песком и снарядом:

Запишем это уравнение движения в проекциях на ось ОХ:

Учитывая, что F_тр = μN, N = (М + m)g, найдём α = μg.

При равноускоренном движении . Подставляя в это равенство значения проекций s_x = -s, u_x = 0, u_0x = -_u0, α_x = -α, получим

Ответ: u₀ ≈ 0,7 м/с, s ≈ 0,5 м.

Упражнения:

1. Материальная точка массой 1 кг равномерно движется по окружности со скоростью, равной 10 м/с в ИСО.

Найдите изменение импульса точки:

а) за четверть периода;

б) половину периода;

в) период.

2. Чему равна средняя сила давления на плечо при стрельбе из автомата, если масса пули равна 10 г, а скорость пули при вылете из канала ствола составляет 300 м/с? Автомат делает 300 выстрелов в минуту. Трением при движении пули пренебречь.

3. Тележка массой 90 кг движется со скоростью, равной 4 км/ч. Человек массой 70 кг, бегущий со скоростью 8 км/ч, вскакивает на тележку.

C какой скоростью станет двигаться тележка, если:

а) человек догонял тележку;

б) человек бежал навстречу тележке?

Трением при движении человека и тележки пренебречь.

4. Пуля массой 6 г, летящая горизонтально со скоростью 300 м/с, попадает в брусок массой 500 г, лежащий на гладком полу, и пробивает его насквозь. Скорость пули после вылета из бруска равна 150 м/с. Определите скорость бруска после вылета пули.