Меню сайта

10 класс

§ 30. Закон сохранения механической энергии

Механическая энергия системы. Закон сохранения механической энергии.

В замкнутой системе тел положительная работа внутренних сил увеличивает кинетическую энергию, но при этом уменьшает потенциальную энергию. Отрицательная работа, напротив, увеличивает потенциальную энергию и уменьшает кинетическую. Именно благодаря этому выполняется закон сохранения механической энергии.

Обратимся к уже рассмотренной нами системе взаимодействующих тел, состоящей из земного шара и поднятого над поверхностью Земли тела (например, камня).

Под действием силы тяжести камень падает вниз. Силу сопротивления воздуха при движении камня учитывать не будем. Работа, совершаемая постоянной силой тяжести при перемещении камня из одной точки в другую, равна изменению (увеличению) кинетической энергии камня:

В то же время эта работа равна уменьшению потенциальной энергии системы:

Так как в выражениях (1) и (2) левые части одинаковы, то равны между собой и их правые части:

Равенство (3) означает, что увеличение кинетической энергии равно убыли потенциальной энергии системы (или наоборот). Отсюда следует, что

Изменение суммы кинетической и потенциальной энергии равно нулю.

Так как изменение механической энергии, согласно (4), равно нулю, то механическая энергия системы остаётся постоянной (сохраняется).

В этом состоит закон сохранения механической энергии.

Механическая энергия не создаётся и не уничтожается, а только превращается из одной формы в другую: из кинетической в потенциальную или наоборот.

Для рассматриваемого примера закон сохранения механической энергии можно записать в виде:

Это уравнение позволяет найти модуль скорости камня υ₂ на любой высоте h₂ над Землёй, если известен модуль начальной скорости υ₁ камня на исходной высоте h₁.

Закон сохранения механической энергии (6) можно обобщить для любого числа тел и любых потенциальных сил взаимодействия между ними. Тогда под E_k нужно понимать сумму кинетических энергий всех тел системы, а под E_p — полную потенциальную энергию системы.

Изменение механической энергии системы под действием внешних сил.

Пусть система взаимодействующих тел (Земля и камень, поднятый над её поверхностью) незамкнута. На камень действует внешняя сила .

В данном случае происхождение этой силы не имеет значения. Это может быть, в частности, сила упругости верёвки, привязанной к камню (рис. 4.33).

Тогда согласно второму закону Ньютона

Пусть за некоторый промежуток времени камень переместится вертикально вверх на расстояние Δy = h₂ - h₁, а модуль его скорости увеличится от υ₁ до υ₂.

Записав уравнение (7) в проекциях на ось OY, с учётом равенства получим:

Изменение механической энергии равно работе внешних сил. Можно показать, что данный вывод справедлив для любого числа тел, взаимодействующих посредством консервативных сил.

Уменьшение механической энергии системы под действием сил трения.

Если в системе действуют силы трения, то работа этих сил должна учитываться так же, как и работа внешних сил, несмотря на то, что силы трения могут быть внутренними. Для замкнутой системы, в которой между телами действуют силы трения, изменение механической энергии равно работе сил трения: E₂ - E₁ = A_тр.

Хотя силы трения могут совершать и положительную работу, суммарная работа сил трения внутри системы всегда отрицательна.

Рассмотрим следующий пример. Найдём изменение кинетической энергии в системе, состоящей из тележки массой М, движущейся без трения со скоростью ₀ по гладкой горизонтальной поверхности, и кирпича массой m, положенного на тележку в начальный момент времени (рис. 4.34).

Пусть кирпич сначала скользит по тележке и проходит относительно неё расстояние l.

После этого кирпич движется вместе с тележкой. Коэффициент трения скольжения кирпича о поверхность тележки равен μ. За время t тележка пройдёт относительно Земли путь s, а скользящий по ней кирпич пройдёт путь s - l. После этого они будут двигаться с одинаковой скоростью. Сила трения скольжения, равная по модулю F₁ — μmg, совершит над кирпичом положительную работу, которая увеличит кинетическую энергию кирпича:

Работа силы трения ₂ = -₁, действующей на тележку, будет отрицательной, что вызовет уменьшение кинетической энергии тележки:

Складывая почленно уравнения (8) и (9), получим:

Убыль кинетической энергии системы равна работе силы трения на пути, равном относительному перемещению кирпича и тележки. Этот вывод имеет общее значение. Работа сил трения, действующих внутри системы, всегда отрицательна и механическая энергия в замкнутой системе тел убывает: A_E = A_тр < 0.

Убывание механической энергии не означает, что эта энергия исчезает бесследно. В действительности происходит переход энергии из механической формы в другие. Обычно при работе сил трения скольжения тела нагреваются, или, как говорят, увеличивается их внутренняя энергия. Нагревание тел при действии сил трения легко обнаружить. Для этого, например, достаточно энергично потереть монету о стол.

C повышением температуры увеличивается кинетическая энергия теплового (хаотического) движения молекул. Следовательно, при действии сил трения кинетическая энергия тела, движущегося как целое, превращается в кинетическую энергию хаотически движущихся молекул.

Вопросы:

1. Какую физическую величину называют механической энергией системы?

2. Сформулируйте закон сохранения механической энергии.

3. При каких условиях выполняется закон сохранения механической энергии?

4. Как изменяется механическая энергия системы при действии в ней неконсервативных сил (сил трения)?

5. В какой вид энергии преобразуется часть механической энергии системы при трении взаимодействующих тел?

Вопросы для обсуждения:

1. Камень и теннисный мяч ударяют палкой. Почему мяч при прочих равных условиях летит дальше камня?

2. Как бросить мяч на пол, чтобы он подпрыгнул выше уровня, с которого был брошен?

Пример решения задачи

Камень массой 100 г, брошенный вертикально вверх с начальной скоростью 15 м/с, достиг максимальной высоты 10 м. Определите работу сил сопротивления воздуха на этом участке.

Упражнения:

1. Тело (материальная точка) брошено под углом к горизонту со скоростью, равной 20 м/с. Найдите скорость мяча на высоте, равной 10 м над поверхностью Земли. Сопротивление воздуха не учитывать.

2. C какой начальной скоростью нужно бросить мяч с высоты 2 м, чтобы он подпрыгнул на высоту, равную 4 м? Считать, что при ударе скорость тела изменяет своё направление на противоположное, но не изменяет модуль скорости. Сопротивление воздуха не учитывать, трением при движении пренебречь.

3. Пружинный пистолет стреляет шариками вертикально вверх. Масса шарика равна 2,25 г. Нa какую высоту пистолет выстрелит шарик относительно поверхности Земли, если жёсткость пружины равна 90 Н/м, а деформация пружины — 3 см? C какой скоростью шарик вылетает из пистолета? Массой пружины и сопротивлением воздуха пренебречь.

4. Самолёт массой 2 т движется в горизонтальном направлении со скоростью, равной 50 м/с в ИСО. Находясь на высоте 1200 м, он переходит на снижение при выключенном двигателе. Пройдя планирующим полётом 8 км, самолёт достигает взлётной полосы, имея скорость 25 м/с. Определите среднее значение силы сопротивления воздуха во время планирующего полёта самолёта.

5. К нижнему концу вертикально висящей лёгкой невесомой пружины жёсткостью 10 Н/см подвесили груз массой 3 кг и отпустили без начальной скорости. Определите максимальное растяжение пружины. Трением при движении пренебречь.

6. Груз подвешен с помощью резинового жгута, первоначальная длина которого равна l₀. Жёсткость жгута равна k. Груз поднимают до точки крепления жгута и отпускают. Определите максимальное удлинение жгута в процессе движения. Трением при движении пренебречь.