Меню сайта

10 класс

§ 31. Абсолютно упругое и абсолютно неупругое соударения тел

Абсолютно упругий удар.

Применим закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии для исследования различных столкновений (ударов) тел.

При этом важно, чтобы силы взаимодействия между телами зависели только от деформаций, но не от скоростей их движения друг относительно друга. Если начальные скорости шаров направлены по линии, соединяющей их центры (рис. 4.36), то удар называют центральным.

Если в замедленном режиме просмотреть видеофрагмент об абсолютно упругом взаимодействии двух тел (например, бильярдных шаров ¹), то можно увидеть две фазы взаимодействия тел. В первой фазе соударения кинетическая энергия поступательного движения тел частично или полностью переходит в потенциальную энергию упруго деформированных шаров и в конце этой фазы относительная скорость тел становится равной нулю.

---

¹ Соударение бильярдных шаров (рис. 4.37) можно считать абсолютно упругим ударом с достаточно высокой степенью приближения. В реальных условиях часть полной механической энергии при ударе преобразуется в энергию звуковых волн, во внутреннюю энергию взаимодействующих тел. При соударении бильярдных шаров потери энергии незначительны, и ими можно пренебречь при решении задач.

Во второй фазе тела восстанавливают свою первоначальную форму, и потенциальная энергия упруго деформированных шаров вновь переходит в кинетическую энергию тел (которую они имели до удара). В этом случае справедлив закон сохранения механической энергии. Отметим, что закон сохранения импульса справедлив как для абсолютно неупругого (о нём расскажем далее), так и для абсолютно упругого ударов.

Найдём скорости шаров после центрального абсолютно упругого удара. Обозначим массы шаров через m₁ и m₂, их скорости до удара через ₁ и ₂, а после удара — _l и ₂. Будем считать шары материальными точками. При этом не будем учитывать силы трения в системе.

До удара первый шар двигался в положительном направлении оси X, а второй шар — в противоположном направлении. Поэтому проекции их скоростей на эту ось будут равны

υ_1x = υ₁, υ_2x = - υ₂

Учитывая данные выражения, запишем законы сохранения импульса и механической энергии в проекциях на ось ОХ:

Данную систему уравнений можно переписать в виде:

Разделим уравнение (2) на уравнение (1):

Теперь умножим уравнение (3) на m₂ и вычтем полученный результат из уравнения (1):

В результате аналогичных математических преобразований можно получить:

Рассмотрим полученное решение для двух частных случаев.

1. Второй шар до удара покоился (υ₂ = 0), тогда

При m₁ > m₂ первый шар продолжает двигаться в том же направлении, что и до удара, но с меньшей скоростью. Если m₁ < m₂, то первый шар после удара отскакивает назад. Второй шар в обоих случаях будет двигаться в ту же сторону, куда двигался до удара первый шар.

2. Оба шара имеют одинаковую массу, тогда

В результате абсолютно упругого соударения шары обмениваются скоростями. Полученные формулы справедливы не только для столкновения макроскопических тел, но и в широких пределах для атомов и элементарных частиц.

Абсолютно неупругий удар.

Примерами абсолютно неупругого соударения тел являются попадание ружейной пули в движущийся ящик с песком, автосцепка вагонов, столкновение тележки с пластилиновым или глиняным шариком.

При абсолютно неупругом ударе тел возникают силы взаимодействия, пропорциональные скорости изменения деформаций тел. При выравнивании скоростей тел, т. е. при исчезновении скорости одного тела относительно другого, деформации тел перестают изменяться и силы исчезают. Тела как бы «слипаются» и движутся вместе как единое целое (в частности скорость совместного движения может быть равной нулю). В результате часть механической энергии переходит в другие формы энергии, и поэтому закон сохранения механической энергии не может быть использован. В связи с этим мы будем применять закон сохранения импульса, считая рассматриваемые в задаче тела материальными точками. При этом мы не будем учитывать изменение формы и размеров тел до и после взаимодействия.

Предположим, что шар массой m₁, движущийся по гладкой горизонтальной поверхности со скоростыо , сталкивается с неподвижным шаром массой m₂. В результате абсолютно неупругого взаимодействия шары «слипаются» и движутся как единое целое. Определим долю механической энергии, перешедшей в немеханическую форму, и скорость совместного движения шаров при центральном абсолютно неупругом ударе.

На рисунке 4.38, а показано состояние системы до взаимодействия, а на рисунке 4.38, б — после взаимодействия. Так как сумма проекций внешних сил (сил тяжести и сил реакций опоры) на ось OX в момент взаимодействия равна нулю, то можно применить закон сохранения импульса в проекции на ось OX и записать выражения для проекций импульсов системы до (p_иx) И после (p_кx) взаимодействия:

Отсюда

Используя закон сохранения энергии, запишем:

где W' — энергия, перешедшая при ударе в немеханическую форму (внутреннюю энергию).

Доля этой энергии по отношению к первоначальной механической энергии W:

Из последнего соотношения следует, что если второй шар обладает очень большой массой по сравнению с массой первого шара (m₂ >> m₁), то W' / W ≈ 1, т. е. вся первоначальная механическая энергия переходит в немеханическую форму (внутреннюю энергию).

Вопросы:

1. Какой удар тел называют:

а) центральным;

б) абсолютно упругим;

в) абсолютно неупругим?

2. Приведите примеры абсолютно упругого и абсолютно неупругого ударов.

3. Какие законы сохранения можно использовать при решении задач:

а) на абсолютно упругий удар;

б) абсолютно неупругий удар?

Вопросы для обсуждения:

1. Резиновые баллоны автомашины, рессоры, вагонные буферы ослабляют толчки и удары. Почему?

2. Когда покоящийся шар приобретает большую скорость от другого такого же шара: при центральном упругом или неупругом ударе?

3. В книге Э. Распе «Приключения барона Мюнхгаузена» описывается такой случай: «Обе пушки грянули в один и тот же миг. Случилось то, чего я ожидал: в намеченной мною точке два ядра — наше и неприятельское — столкнулись с ужасающей силой, и неприятельское ядро полетело назад к испанцам... Наше ядро тоже не доставило им удовольствия...» Возможно ли описанное здесь явление?

Пример решения задачи

В ящик массой 10 кг, подвешенный на параллельных нитях, попадает пуля массой 9 г, летящая горизонтально со скоростью 600 м/с, и застревает в нём. На какую высоту поднимется ящик после попадания пули? Сопротивление воздуха не учитывать, трением при движении пренебречь. Нити считать невесомыми и нерастяжимыми.

Отсюда

Для ящика после удара выполняется закон сохранения механической энергии (сила натяжения нити работы не совершает, поскольку проекция этой силы на направление перемещения равна нулю).

Следовательно,

Подставляя числовые данные, получим:

Ответ: h ≈ 0,015 м.

Упражнения:

1. Пуля массой 20 г ударяет со скоростью, равной 400 м/с, в центр шара массой 5 кг, подвешенного на тонкой нити длиной 4 м, и упруго от него отскакивает. Определите угол, на который отклоняется нить. Сопротивление воздуха не учитывать, трением при движении пренебречь.

2. Идеально гладкий шар А, движущийся со скоростью υ₀, одновременно упруго сталкивается с двумя такими же, соприкасающимися между собой шарами В и C (рис. 4.40). Определите скорости шаров после столкновения.

3. Пуля массой 10 г, летящая со скоростью, равной 300 м/с, ударяет в подвешенный на тонких нитях деревянный брусок массой 6 кг и пробивает его. Определите высоту поднятия бруска и количество теплоты, выделившееся при этом.

4. Три одинаковых тела массой m = 50 г каждое расположены на горизонтальной плоскости вдоль одной линии. C крайним левым телом соударяется такое же тело, движущееся со скоростью υ = 20 м/с вдоль линии, на которой расположены тела. Определите кинетическую энергию E_k системы тел после всех соударений, считая их абсолютно неупругими.