10 класс
Глава 5. Статика. Законы гидро- и аэростатики
Если тело, к которому приложены силы, покоится, то говорят, что оно находится в равновесии. Изучение условий равновесия тел имеет большое практическое значение в строительном деле, машиностроении, приборостроении и других областях техники.
Однако выяснить условия равновесия реальных тел непросто, так как под влиянием приложенных к ним сил такие тела изменяют свою форму и размеры, т. е. деформируются.
Во многих случаях, которые имеют место на практике, деформациями можно пренебречь и проводить расчёты так, как если бы тела были недеформируемыми, т. е. абсолютно твёрдыми (для краткости мы будем использовать термин «твёрдое тело»). Изучив условия равновесия абсолютно твёрдого тела, мы найдём условия равновесия реальных тел в тех случаях, когда их деформациями можно пренебречь по сравнению с размерами самих тел.
Раздел механики, в котором изучается равновесие абсолютно твёрдых тел, называют статикой.
В этой главе будут рассмотрены законы гидро- и аэростатики, которые применяют при создании различных воздушных и морских судов, а также в различных бытовых устройствах.
§ 32. Условия равновесия твёрдых тел
Равновесие материальной точки.
Выясним, при каком условии материальная точка находится в равновесии.
Поскольку материальная точка покоится, её ускорение равно нулю.
Тогда, согласно второму закону Ньютона, 
1 + 2 + ... + n = m • 0 = 0.
Таким образом, чтобы материальная точка оставалась в равновесии, векторная сумма всех сил, приложенных к точке, должна быть равна нулю.
Первое условие равновесия твёрдого тела.
Очевидно, что твёрдое тело может покоиться только относительно определённой системы координат. В статике изучают условия равновесия твёрдых тел именно в такой системе. При равновесии скорости и ускорения всех участков (элементов) твёрдого тела равны нулю. Учитывая это, можно установить одно из необходимых условий равновесия твёрдых тел.
Используя теорему о движении центра масс (см. § 26 "Центр масс. Теорема о движении центра масс"), можно показать, что внутренние силы не влияют на движение центра масс, так как их сумма всегда равна нулю. Движение центра масс тела (или системы тел) определяют лишь внешние силы. Так как при равновесии твёрдого тела ускорение всех его элементов равно нулю, то равно нулю и ускорение центра масс. Оно, в свою очередь, определяется векторной суммой внешних сил, приложенных к твёрдому телу:
Поэтому при равновесии эта сумма должна равняться нулю.
Если сумма внешних сил равна нулю 
, то и ускорение центра масс 
c = 0. Отсюда следует, что скорость центра масс 
c = const. Если в начальный момент времени скорость центра масс равнялась нулю, то и в дальнейшем центр масс остаётся в покое. Полученное условие неподвижности центра масс является необходимым условием равновесия твёрдого тела.
Это так называемое первое условие равновесия твёрдого тела.
Для равновесия твёрдого тела необходимо, чтобы сумма всех внешних сил, приложенных к нему, была равна нулю.
Если сумма сил равна нулю, то равна нулю и сумма проекций сил на все три оси координат. Обозначив внешние силы через 1, 2, 3 и т. д., запишем три уравнения, эквивалентных одному векторному уравнению:
При этом для равновесия твёрдого тела необходимо, чтобы начальная скорость центра масс была равна нулю.
Второе условие равновесия твёрдого тела
Равенство нулю суммы внешних сил, действующих на твёрдое тело, необходимо для его равновесия, но недостаточно. При выполнении этого условия лишь центр масс с необходимостью будет покоиться. В этом нетрудно убедиться.
Приложим к доске в разных точках равные по модулю и противоположные по направлению силы так, как показано на рисунке 5.1 (две такие силы называют парой сил). Их сумма + (-) = 0. Но доска при этом будет поворачиваться. В покое находится только центр масс, если его начальная скорость (скорость до приложения сил) была равна нулю.
Точно так же две одинаковые по модулю и противоположные по направлению силы поворачивают руль велосипеда или автомобиля (рис. 5.2) вокруг оси вращения.
Понятно, что любое твёрдое тело находится в равновесии, когда сумма всех сил, действующих на каждый его элемент, равна нулю. Но если сумма внешних сил равна нулю, то сумма всех сил, приложенных к каждому элементу тела, может быть отличной от нуля. В этом случае твёрдое тело не будет находиться в равновесии. В рассмотренных примерах доска и руль не находятся в равновесии, так как сумма всех сил, действующих на отдельные элементы этих тел, не равна нулю. По этой причине тела вращаются.
Выясним, какое ещё условие, кроме равенства нулю суммы внешних сил, должно выполняться, чтобы тело не вращалось и находилось в равновесии. Для этого вспомним из курса физики основной школы понятие «момент силы». Допустим, к твёрдому телу приложены силы i и k. Следует иметь в виду, что вращение тела вокруг оси могут вызывать лишь силы i, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси вращения (рис. 5.3).
Силы же k, направленные параллельно оси вращения, способны вызвать лишь перемещение тела вдоль оси. Момент M каждой силы i равен взятому со знаком «плюс» или «минус» произведению модуля этой силы на плечо d, т. е. на длину отрезка перпендикуляра, опущенного из точки C оси на линию действия силы 1 i.
1 Линию, вдоль которой действует сила, называют линией действия этой силы. Кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы называют плечом этой силы относительно данной оси.
Момент силы M равен произведению модуля F силы, вращающей тело, на плечо силы d.
В СИ момент силы измеряют в ньютон-метрах (H • м).
Момент силы, вращающий тело вокруг данной оси против часовой стрелки, считается положительным, а по часовой стрелке — отрицательным.
Можно доказать, что
при равновесии твёрдого тела сумма моментов всех внешних сил, действующих на него относительно любой оси, равна нулю.
В этом заключается второе условие равновесия твёрдого тела.
Для произвольного числа внешних сил условия равновесия твёрдого тела можно записать в следующем виде.
Таким образом, твёрдое тело будет оставаться в равновесии, если одновременно выполнены эти два условия.
Вопросы:
1. Что изучает статика?
2. Какую физическую модель называют абсолютно твёрдым телом?
3. Какие силы определяют движение центра масс тела (или системы тел)?
4. В чём заключается:
а) первое условие равновесия твёрдого тела;
б) второе условие твёрдого тела?
5. Почему равенство нулю суммы внешних сил, действующих на твёрдое тело, необходимо для его равновесия, но недостаточно?
Вопросы для обсуждения:
1. Длинный стержень легче удерживать в горизонтальном положении за середину, чем за его конец. Почему?
2. Почему находящийся в равновесии башенный кран (рис. 5.4) не падает в тот момент, когда он начинает поднимать груз? Ведь в момент начала подъёма возрастает сумма моментов сил, вращающих кран против часовой стрелки.
Пример решения задачи
Цилиндр радиусом 20 см и массой 500 г необходимо вкатить на ступеньку высотой 16 см. Определите модуль минимальной горизонтальной силы F1, которую следует для этого приложить к центру масс цилиндра. Найдите модуль минимальной негоризонтальной силы F2, которую следует приложить к центру масс цилиндра для его вкатывания на ступеньку.
Для подъёма на ступеньку момент M(F1), вращающий цилиндр вокруг оси А по часовой стрелке, должен быть по модулю не меньше момента M (mg), вращающего цилиндр против часовой стрелки. Сила F1 минимальна, если
Отсюда
Подставляя числовые данные, получим:
2 случай: сила направлена не горизонтально (рис. 5.5, б).
Вектор силы 2 направлен перпендикулярно прямой OA, так как в этом случае плечо силы максимально, а сама она минимальна. Условие подъёма цилиндра на ступеньку остаётся прежним:
Отсюда 
C учётом числовых данных получим:
Ответ: F1 = 24 H, F2 = 4,8 Н.
Упражнения:
1. Однородная балка массой 15 кг лежит на платформе так, что её конец свешивается на — длины l. Какую минимальную силу нужно приложить к этому концу, чтобы противоположный конец балки начал подниматься (рис. 5.6)?
2. Тело массой 10 кг подвешено на двух невесомых нерастяжимых нитях, как показано на рисунке 5.7. Определите силы натяжения нитей, если угол а = 30°.
3. Однородный шар радиусом 15 см и массой 5 кг висит, как показано на рисунке 5.8. Расстояние от точки крепления нити к стене до точки касания шара со стеной равно 30 см. Определите силу T натяжения нити и силу N реакции стены.
4. К гладкой вертикальной стене привязана нить длиной 6 см. К нити подвешен шар массой 0,5 кг и радиусом 5 см. Найдите силу давления шара на стену.
5. Лестница опирается на гладкую вертикальную стенку, образуя с ней угол 30°. Нижний конец лестницы находится на шероховатом полу. При каком коэффициенте трения между лестницей и полом человек, взбирающийся вверх по лестнице, сможет достичь её вершины? Масса человека в 3 раза больше массы лестницы.
