Меню сайта

10 класс

§ 26. Центр масс. Теорема о движении центра масс

Понятие центра масс.

Бросим палку так, чтобы в полёте она вращалась в вертикальной плоскости. Если палка однородная, то можно заметить, что точка, находящаяся в центре палки, движется по плавной линии — такой, по которой летел бы брошенный камень. Сама же палка будет вращаться вокруг этой точки (рис. 4.12, а). Прикрепим к одному из концов палки груз и снова её бросим таким же образом. Движение будет похожим, однако точка, движущаяся по плавной кривой, оказывается не в центре палки, а ближе к грузу (рис. 4.12, б).

Из этого примера можно сделать вывод, что существует такая точка тела, которая движется так, как будто на неё действуют только внешние силы, причём её положение зависит от того, как распределена масса внутри тела. Такую точку называют центром масс тела.

Пусть система состоит из двух материальных точек, массы которых равны m₁ и m₂. Будем считать, что центр масс расположен на отрезке прямой, соединяющей эти точки, и находится ближе к точке с большей массой. Наиболее простым будет предположение, что расстояния l₁ и l₂ от соответствующих точек до центра масс обратно пропорциональны массам этих точек, т. е.

Пусть ₁ и ₂ — векторы, проведённые от точек к центру масс, ₁ и ₂ — радиусы-векторы точек, a _c — радиус-вектор, проведённый из начала координат к центру масс этих двух точек. Тогда, как видно из рисунка 4.13,

Умножив обе части первого уравнения на m₁, а второго на m₂, сложим их. В результате получим:

Но из рисунка 4.13 и формулы (1) следует, что m₁₁ = -m₂₂. Таким образом, для системы, состоящей из двух точек, положение центра масс определяется радиусом-вектором

Обобщим соотношение (2) на случай системы, состоящей из произвольного числа материальных точек. Если массу отдельного і-го элемента (материальной точки) обозначить через Δm_i, а радиус-вектор — через _i, то положение центра масс будет определяться по формуле:

При этом   — суммарная масса системы.

Как и любое векторное соотношение, формула (3) представляет собой компактную запись трёх независимых выражений, определяющих координаты центра масс:

Здесь х_i, y_i, z_i — координаты одного из элементов тела (рис. 4.14).

Далее будет показано, что точка с координатами, определяемыми выражениями (4), действительно движется так, как движется материальная точка под действием сил, приложенных к телу.

Центр масс всех однородных тел, имеющих центр симметрии, совпадает с этим центром. Например, центр масс однородного шара совпадает с его центром. Центр масс параллелепипеда находится в его центре симметрии, а центр масс однородного стержня — в его середине.

Импульс системы материальных точек.

Покажем, что импульс тела, представляющего собой систему материальных точек, равен импульсу материальной точки, масса которой равна массе тела, а скорость равна скорости центра масс.

Импульс тела по определению равен суммарному импульсу всех его точек:

где _l — скорости отдельных точек тела.

C другой стороны, согласно формуле (3),

Пусть за малое время Δ t радиусы-векторы элементов тела изменяются на Δ_i. Тогда и радиус-вектор центра масс изменится на Δ_c:

Разделим левую и правую части этого выражения на Δ t:

Но (скорость і-го элемента тела), а (скорость центра масс), поэтому

Сравнив это выражение с формулой (5), можно прийти к выводу:

Теорема о движении центра масс.

Эта теорема формулируется следующим образом.

Действительно, для изменения импульса системы материальных точек можно записать (см. § 23 "Импульс материальной точки. Другая формулировка второго закона Ньютона"), поэтому:

При поступательном движении все точки тела (системы, состоящей из большого числа материальных точек) движутся одинаково. Следовательно, зная движение центра масс, мы можем определить, как движется тело в целом. Таким образом, мы можем заменить тело, имеющее размеры, системой материальных точек при его поступательном движении.

Из теоремы о движении центра масс вытекает важное следствие.

Если сумма внешних сил равна нулю, то центр масс покоится или движется равномерно и прямолинейно в ИСО.

Действительно, если = 0, то согласно выражению (6)

Если в начальный момент _c = 0, то и в дальнейшем центр масс будет оставаться в покое или двигаться равномерно и прямолинейно.

Например, Мюнхгаузен, герой известной книги Э. Распе «Приключения барона Мюнхгаузена», в действительности не мог бы вытянуть себя из болота за косу. Сила, действующая со стороны руки, является внутренней и не в состоянии поднять центр масс барона.

По тем же причинам неосуществим полёт на Луну по проекту французского поэта Сирано де Бержерака. Он предлагал периодически подбрасывать с железной тележки большой магнит, который якобы должен был с каждым разом подтягивать тележку немного вверх.

Другое дело — ракета. При её старте в космическом пространстве центр масс системы «ракета — отработанные газы» будет оставаться на месте. При этом ракета летит в одну сторону, а отработанные газы — в противоположную. Несколько сложнее обстоит дело при старте ракеты с поверхности Земли. В этом случае остаётся неизменной в инерциальной (гелиоцентрической) системе отсчёта скорость центра масс ракеты, Земли и газов. Ведь при старте огненная струя из сопла ракеты ударяет в Землю и слегка смещает её на орбите. Именно из-за этого малого смещения Земли скорость центра масс системы «ракета — Земля» не меняется при выходе ракеты в космос.

Таким образом, внутренние силы не в состоянии изменить скорость центра масс. Это могут сделать только внешние силы, если их векторная сумма не равна нулю.

Вопросы:

1. Что называют центром масс тела?

2. Как можно определить положение центра масс системы, состоящей:

а) из двух материальных точек;

б) произвольного числа материальных точек?

3. Сформулируйте теорему о движении центра масс.

4. Какое важное следствие можно получить из теоремы о движении центра масс?

5. Какие силы могут изменить скорость центра масс? Приведите примеры.

Вопросы для обсуждения:

1. Тетрадь находится в равновесии на острие карандаша (рис. 4.15). Почему это возможно?

2. Бревно уравновешено на тросе (рис. 4.16). Какая часть бревна — А или В — окажется тяжелее, если его распилить в месте подвеса?

3. Однородный стержень, подпёртый в середине, находится в равновесии в горизонтальном положении (рис. 4.17). Будет ли он уравновешен, если правую половину стержня согнуть вдвое?

Упражнения:

1. От однородного вала отрезали конец длиной 40 см. Куда и на сколько переместился центр масс вала?

2. Одна половина цилиндрического стержня состоит из стали, а другая — из алюминия. Определите положение центра масс стержня, если его длина равна 30 с.м.

3. Два однородных шара массой 1,5 кг и 12 кг радиусами 3 см и 6 см соединены посредством однородного стержня массой 2 кг. Центры шаров лежат на продолжении оси стержня (рис. 4.18). Определите центр масс этой системы. Длина стержня равна 50 см.

4. Где находится центр масс конструкции, составленной из тонких однородных стержней, имеющей форму:

а) прямоугольника;

б) треугольника?