10 класс
§ 27. Работа силы. Мощность. КПД механизма
Определение работы в физике.
Работа совершается в природе всегда, когда на какое-либо движущееся тело действует сила (или несколько сил) со стороны другого тела (или других тел). Так, сила тяготения совершает работу при падении капель дождя или камня с обрыва. Одновременно совершают работу и силы трения со стороны воздуха, действующие на падающие капли или камень. Действия сил на тела, приводящие к изменению модуля их скоростей, характеризуются величиной, которая зависит как от сил, так и от перемещений тел. Эту величину называют работой 1.
1 Понятие «работа» ввёл в 1826 г. французский математик и инженер Жан Виктор Понселе (1788—1867). Он же предложил правила расчёта работы силы.
Для приведения тела в движение или для его остановки на тело должна действовать сила, совершающая работу. Но при движении с постоянной скоростью в отсутствие трения совершать работу не нужно. Согласно закону инерции, тело движется с постоянной скоростью без действия на него сил. Не совершается работа и в том случае, когда сила направлена перпендикулярно скорости. В этом случае скорость тела не меняется по модулю и необходимое ускорение телу сообщает сила, перпендикулярная скорости. При движении по окружности модуль этой силы не меняется. Например, камень, раскрученный на верёвке, в отсутствие трения будет двигаться сам по себе сколь угодно долго. Работа при этом не совершается. Она необходима только для сообщения камню постоянной скорости. Изменение скорости по модулю возможно лишь в том случае, когда проекция силы на направление перемещения тела Fr отлична от нуля. Именно эта проекция определяет действие силы, изменяющее скорость тела (материальной точки) по модулю, а следовательно, и совершаемую работу. Поэтому работу А следует рассматривать как произведение проекции Fr,силы на модуль перемещения ∣Δ
∣ (рис. 4.19):
Если угол между направлениями силы и перемещения обозначить через а, то Fr = Fcos α. Следовательно, работа постоянной силы равна
Работа постоянной силы, действующей на материальную точку, равна произведению модулей векторов силы и перемещения, умноженному на косинус угла между ними.
Подчеркнём, что формулы (1) и (2) справедливы в том случае, когда сила постоянна и перемещение тела происходит вдоль прямой. Малые отрезки траектории всегда можно считать прямолинейными, а силу на малом отрезке постоянной.
Из определения работы следует, что она является не векторной, а скалярной величиной. Знак работы определяется знаком косинуса угла между направлениями силы и перемещения. Предположим, что вектор силы совпадает с вектором перемещения. В этом случае угол α = 0°, cos 0° = 1, и из формулы (2) следует, что А = F∣Δ∣ > 0. Если сила, действующая на движущееся тело, противоположна по направлению перемещению, то угол α = 180°, cos 180° = -1. Тогда А = -F∣Δ∣ < 0. Если сила перпендикулярна перемещению (α = 90°), то проекция этой силы на направление перемещения равна нулю, так как cos 90° = 0, и работа не совершается. Например, сила тяжести не совершает работу при перемещении тела по горизонтальной поверхности стола или при движении спутника по круговой орбите Земли.
При других значениях угла α работа может быть как положительной, так и отрицательной величиной. Работа положительна для углов α < 90°, так как косинус острых углов положителен. При аα > 90° работа отрицательна, так как косинус тупых углов отрицателен.
Если при перемещении тела на единицу длины на него действует постоянная сила, модуль которой равен единице, а её направление совпадает с направлением перемещения (α = 0°), то и работа равна единице. В СИ при F = 1H, ∣Δ∣ = 1 м и α = 0° совершается работа А = 1 H • 1 м = 1 Н • м, которая и принимается за единицу работы. Её называют джоулем (Дж). Джоуль — работа, совершаемая постоянной силой 1 H при перемещении тела на 1 м, если направления силы и перемещения совпадают 2.
2 Нa практике часто используют кратные единицы работы — килоджоуль (1 кДж = - 103 Дж), мегаджоуль (1 МДж = 106 Дж).
Основные свойства работы силы.
Рассмотрим свойства, которыми обладает работа силы.
1. Работа силы зависит от выбора системы отсчёта. Например, если человек стоит в поезде и удерживает растянутую пружину, то в системе отсчёта, связанной с поездом, сила упругости, действующая со стороны пружины на руку человека, не совершает никакой работы, так как точка приложения силы не перемещается. При этом в системе отсчёта, связанной с Землёй, работа будет произведена. При переходе от одной системы отсчёта к другой работа может даже изменить знак, так как направление перемещения зависит от выбора системы отсчёта. Поэтому, когда мы говорим о работе как об определённой величине, нужно указывать, относительно какой системы отсчёта она вычисляется.
2. Для вычисления работы переменной силы на произвольном участке пути следует поступить следующим образом. Участок пути нужно разбить на такие малые участки Δi, что силу 
i на каждом из них можно считать постоянной по модулю и направлению (рис. 4.20).
Тогда полная работа на участке пути равна сумме элементарных работ
В данном случае символ Σ означает суммирование произведений 
, a N — число малых участков, на которые разбит весь участок пути.
3. Работа силы имеет чёткий графический смысл. Пусть тело движется прямолинейно вдоль оси ОХ. Изобразим график зависимости проекции силы Fx от координаты х тела. Если сила постоянна, то график будет представлять собой прямую, параллельную оси OX (рис. 4.21).
Работа этой силы будет равна
Очевидно, что площадь прямоугольника, заштрихованного на этом рисунке, численно равна работе при перемещении тела из точки с координатой x1 в точку с координатой x2.
Если при движении по прямой сила меняется от точки к точке траектории, то в этом случае зависимость проекции Fx от координаты х тела можно изобразить в виде некоторой кривой bс (рис. 4.22).
Площадь, ограниченная этой кривой, осью OX и отрезками ab и cd, равными проекциям сил в начальной и конечной точках пути, численно равна работе при перемещении тела из точки b в точку с. В самом деле, работа на малом участке пути Δxi численно равна площади прямоугольника 1234, так как ΔA = FxiΔxi (xi — значение проекции силы на этом участке). Полную же площадь фигуры можно представить как сумму площадей таких элементарных прямоугольников. Согласно формуле (3), она равна искомой работе.
4. Если на тело действует несколько сил, то проекция результирующей силы Fr на направление перемещения равна сумме проекций отдельных сил:
Поэтому для работы А результирующей силы получим выражение
Таким образом, если на тело действует несколько сил, то полная работа (работа всех сил) равна работе результирующей силы.
Работа данной силы i представляет собой произведение проекции Fir этой силы на модуль ∣Δ∣ перемещения тела. При этом не важно, что вызывает перемещение тела. На тело, кроме данной силы, могут действовать и другие силы. Перемещение зависит от скорости, которую успело приобрести тело. Работа же данной силы всегда определяется произведением модуля этой силы и модуля перемещения тела, умноженному на косинус угла между силой и перемещением.
Мощность.
На практике часто важно знать не только работу силы, но и время, в течение которого она производится. Временем, в течение которого совершается работа, определяют производительность любого двигателя. Очень большую работу может совершить и небольшой электромотор, но для этого потребуется много времени. В связи с этим наряду с работой вводят величину, характеризующую быстроту, с которой она производится, — мощность.
Мощностью (средней мощностью) называют отношение совершённой работы А к интервалу времени Δt, за который эта работа совершена.
Другими словами, мощность численно равна работе, совершённой в единицу времени. Подставляя вместо работы А выражение (2), получим:
Таким образом, мощность равна произведению модулей векторов силы и скорости, умноженному на косинус угла между направлениями этих векторов 3.
3 Если интервал времени Δt стремится к нулю, то выражение (4) представляет собой мгновенную мощность (мощность в данный момент времени), определяемую через мгновенную скорость.
Мощность можно повысить как за счёт увеличения действующих сил, так и за счёт увеличения скорости движения.
В СИ мощность выражают в ваттах (Вт) 4. Мощность равна 1 Вт, если работа 1 Дж совершается за 1 с.
4 Наряду с ваттом используют более крупные (кратные) единицы мощности: гектоватт (1 гВт = 100 Вт), киловатт (1 кВт = 1000 Вт), мегаватт (1 МВт = 1 000 000 Вт).
КПД механизма.
Все механизмы, двигатели и машины предназначены для выполнения определённой механической работы, которую называют полезной работой Aп. Однако любой машине приходится совершать большую по величине работу, так как вследствие действия сил трения некоторая часть подводимой к машине энергии не преобразуется в механическую работу. Поэтому на практике совершённая с помощью механизма полная работа всегда несколько больше полезной работы.
Эффективность работы машины или механизма характеризуют коэффициентом полезного действия (КПД). Его обозначают буквой η.
Коэффициент полезного действия (КПД) механизма равен отношению полезной работы к полной (затраченной) работе.
.КПД часто выражают в процентах: • 100%.
В реальном случае КПД всегда меньше единицы, так как в любой машине полезная работа всегда меньше затраченной работы.
Вопросы:
1. Как определяется работа постоянной силы в физике?
2. При каких значениях угла а работа постоянной силы может быть:
а) положительной;
б) отрицательной;
в) равной нулю?
3. Подтвердите примерами, что механическая работа зависит от выбора системы отсчёта.
4. Какой графический смысл имеет работа?
5. Какую физическую величину называют:
а) мощностью;
б) КПД механизма?
Вопросы для обсуждения:
1. Может ли механическую работу совершать сила трения покоя?
2. Ракета с работающим двигателем «зависла» над поверхностью Земли. На что расходуется мощность её двигателей?
Пример решения задачи
Какая мощность развивается в момент вылета снаряда из ствола, если на снаряд массой 6 кг действует постоянная сила давления газов? Снаряд вылетает из ствола в горизонтальном направлении. Длина ствола равна 1,8 м, модуль силы давления газов равен 6∙ 104 Н. Трением при движении снаряда пренебречь.
Ответ: N ≈ 11,4 МВт.
Упражнения:
1. Ящик тянут равномерно по горизонтальной поверхности за верёвку, образующую с горизонтом угол, равный 60°. Постоянная сила, приложенная к верёвке, равна 25 Н. Какая работа совершается данной силой при перемещении ящика на расстояние 40 м?
2. Подъёмный кран поднимает с поверхности Земли груз массой 50 кг с ускорением, равным 0,2 м/с2. Определите работу, совершаемую краном в течение первых 10 с подъёма.
3. Автомобиль массой 3 т начал двигаться по горизонтальному участку дороги с ускорением, равным 2 м/с2. Какую работу совершит постоянная сила тяги двигателя в течение 20 с? Действующая на автомобиль сила сопротивления равна 600 Н. Какую среднюю мощность развивает двигатель за этот промежуток времени?
4. Определите работу, совершаемую при равномерном подъёме груза по наклонной плоскости, если масса груза равна 100 кг, длина наклонной плоскости — 2 м, угол наклона к горизонту составляет 30°, коэффициент трения скольжения груза о плоскость равен 0,1. Чему равен КПД установки?
5. На шероховатой поверхности лежит брусок массой m = 1 кг. Какую работу нужно совершить, чтобы сдвинуть его с места, растягивая в горизонтальном направлении невесомую пружину (рис. 4.24)? Коэффициент трения бруска о поверхность μ = 0,8, жёсткость пружины k = 40 Н/м.
