10 класс
§ 36. Ламинарное и турбулентное течение жидкости. Уравнение Бернулли
Модель идеальной жидкости.
До этого мы изучали некоторые свойства неподвижных жидкостей. Рассмотрим ряд явлений, происходящих в движущихся жидкостях. В реальной жидкости необходимо учитывать силы внутреннего сопротивления (или вязкость), обусловленные движением слоёв жидкости относительно друг друга. Описание движения такой жидкости является сложной задачей, поэтому в физике вводят её упрощённую модель — идеальную жидкость. При этом пренебрегают такими свойствами реальной жидкости, как вязкость и сжимаемость.
Наблюдение движения жидкости.
Один из способов наблюдения течения жидкости состоит в том, что к жидкости подмешивают алюминиевый порошок и следят при сильном освещении за движением алюминиевых блёсток. Если сфотографировать жидкость с малой выдержкой, то каждая блёстка даёт на фотографии небольшую чёрточку, длина которой пропорциональна модулю скорости частиц жидкости, а направление движения указывает на направление их скорости. Полученная таким способом фотография представляет собой картину распределения скоростей, существующих в данный момент в жидкости.
На рисунке 5.22, а, сделанном с фотографии текущей жидкости, видно, что наибольшая скорость наблюдается в самом узком сечении трубы.
При более длительной выдержке чёрточки на фотографии сливаются в сплошные линии (рис. 5.22, б), представляющие собой траектории частиц, которые совпадают с так называемыми линиями тока. Под этим термином понимают линии, проведённые так, что касательные к ним совпадают по направлению со скоростями частиц жидкости в соответствующих точках пространства (рис. 5.22, в).
По картине линий тока можно судить не только о направлении, но и о модуле скорости в разных точках пространства текущей жидкости: там, где скорость больше, линии тока расположены гуще, и наоборот, где скорость меньше, линии тока расположены реже (см. рис. 5.22, б).
Ламинарное и турбулентное течение.
Движение жидкости, при котором отдельные слои её скользят друг относительно друга, не перемешиваясь, называют ламинарным (слоистым) течением. Движение жидкости, сопровождающееся перемешиванием её различных слоёв с образованием завихрений, называется турбулентным (вихревым). Ламинарным является течение воды в спокойных реках. Мы ограничимся рассмотрением ламинарного течения жидкости.
Однако наиболее распространённым в природе является турбулентное движение. Именно с ним чаще всего имеют дело при изучении явлений в атмосфере, в потоках быстрых рек и океанских течениях и т. п. Примерами турбулентного движения являются завихрения воды в реках за сваями мостов и за кормой быстроходного катера, движение газов, выбрасываемых из выхлопных труб двигателей внутреннего сгорания и ракетных двигателей, образование смерчей и т. п.
Трубки тока в жидкостях.
Скорости элементов жидкости в различных точках пространства, вообще говоря, различны. Если во всех точках пространства скорости элементов жидкости не меняются со временем, то движение жидкости называется стационарным (установившимся). При стационарном течении любая частица жидкости проходит данную точку с одним и тем же значением скорости 
. В другой какой-либо точке скорость частицы будет иной, но также постоянной во времени.
Картина линий тока при стационарном течении остаётся неизменной. Линии тока в этом случае совпадают с траекториями частиц. Объём жидкости, ограниченный линиями тока, называется трубкой тока (рис. 5.23).
Скорости элементов жидкости в каждой точке поверхности трубки тока направлены по касательной к этой поверхности. Поэтому частицы при своём движении не пересекают стенок трубки тока. При исследовании течения жидкости вместо реальных труб можно рассматривать трубки тока.
Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости.
Разобьём жидкость, текущую по трубе переменного сечения, на отдельные трубки тока, настолько тонкие, что в каждом сечении скорости элементов жидкости можно считать одинаковыми. Рассмотрим два сечения трубки тока с площадями S1 и S2 (рис. 5.24).
Обозначим через 1 и 2 соответствующие скорости течения жидкости. За малое время Δt через первое сечение трубки тока проходит жидкость, масса которой равна ρ1S1υ1Δt, а через второе сечение — ρ2S2υ2Δt (ρ2 и ρ2 — плотности жидкости в первом и втором сечениях трубки). Для несжимаемой жидкости ρ2 = ρ2 и объём жидкости, прошедшей через первое сечение, равен объёму жидкости, протекающей через второе сечение:
S1υ1Δt = S2υ2Δt (1)
ведь жидкость не пересекает стенок трубки тока и не может в ней накапливаться вследствие несжимаемости.
Разделив обе части равенства (1) на Δt, получим: S1υ1 = S2υ2. Отсюда
Модули скоростей несжимаемой жидкости в двух сечениях трубки тока обратно пропорциональны площадям сечений. Соотношение (2) представляет собой уравнение неразрывности несжимаемой жидкости. Оно справедливо как для стационарного течения, так и для нестационарного. Согласно уравнению неразрывности, скорость жидкости в узких местах трубки больше, чем в широких.
Возьмём трубку переменного сечения с небольшими отверстиями в стенке, в которые вставлены стеклянные открытые сверху измерительные трубки (рис. 5.25).
При стационарном течении жидкость в каждой измериельной трубке поднимается до определённой высоты (высоты необходимо отсчитывать от какого-либо горизонтального уровня). По высоте столба жидкости в измерительных трубках можно судить о её давлении на стенки горизонтальной трубки. Опыт показывает, что в широких местах трубки давление больше, чем в узких. Но чем больше сечение трубки, тем меньше скорость течения жидкости. Следовательно, при стационарном течении жидкости давление больше в тех местах, где меньше скорость течения, и, наоборот, меньше в тех местах, где скорость течения больше.
Уравнение Бернулли.
Зависимость давления идеальной жидкости от скорости её стационарного течения и перепада высоты была установлена в математической форме швейцарским учёным Даниилом Бернулли (1700—1782) в 1738 г. Пусть труба переменного сечения расположена наклонно к горизонту. Выделим некоторый объём жидкости между сечением AB в широкой части трубы и сечением CD в узкой части (рис. 5.26).
Обозначим для этих сечений через υ1 и υ2 — скорости, p1 и р2 — давления жидкости и, наконец, через h1 и h2 — высоты, на которых находятся центры сечений. Применяя закон сохранения механической энергии к элементу жидкости, заключённому между сечениями, можно получить следующее выражение:
Это и есть уравнение Бернулли для течения идеальной жидкости.
В уравнении (3) р — статическое давление, ρυ2 / 2 — динамическое давление (или плотность кинетической энергии), ρgh — давление жидкости (или плотность потенциальной энергии).
Согласно уравнению Бернулли
сумма давления и плотностей кинетической и потенциальной энергий при стационарном течении идеальной жидкости остаётся постоянной для любого сечения потока.
Если труба горизонтальна (h1 и h2), уравнение (3) принимает вид:
Уравнение (4) показывает, что с увеличением скорости течения (υ2 > υ1) давление в жидкости, текущей по горизонтальной трубе, уменьшается (р2 < p1)∙ Это подтверждается рассмотренных ранее опытом. Уравнение Бернулли описывает случай стационарного течения жидкости, когда вязкостью и сжимаемостью жидкости можно пренебречь. Уравнение Бернулли применимо и для ламинарного течения газов.
Использование уравнения Бернулли в технике.
Зависимость давления в жидкости и газе от их скорости лежит в основе принципа действия многих устройств и приборов. Рассмотрим лишь некоторые из них. На рисунке 5.27, а изображена схема устройства водоструйного насоса. Струя воды подаётся в трубку А, имеющую на одном конце сужение. По сужению вода течёт с большей скоростью.
Из-за этого давление в струе в этом месте оказывается меньше атмосферного, воздух из сосуда всасывается в струю через трубку В и удаляется вместе с водой.
На рисунке 5.27, б изображён простейший пульверизатор, состоящий из двух трубок, расположенных перпендикулярно друг другу. Через горизонтальную трубку продувается воздух. В узкой части струи при выходе из трубки давление меньше атмосферного. Атмосферное давление поднимает жидкость по вертикальной трубке, и она распыляется струёй воздуха.
Подъёмная сила крыла самолёта.
Уравнение Бернулли позволяет объяснить природу подъёмной силы, удерживающей самолёт в воздухе. Для её возникновения давление воздуха на нижнюю поверхность должно быть больше, чем на верхнюю поверхность. Когда воздушный поток начинает обтекать крыло, то из-за действия сил трения у задней кромки крыла образуется вихрь, в котором воздух вращается против часовой стрелки, если крыло движется влево (рис. 5.28). При этом по законам механики должно возникнуть и вращение воздуха по часовой стрелке.
На обтекающий крыло поток накладывается циркуляция воздуха вокруг крыла. В результате скорость воздушного потока над крылом оказывается больше, чем под крылом. Но, согласно уравнению Бернулли, давление воздуха должно быть больше там, где скорость меньше. Следовательно, под крылом давление воздуха больше, чем над ним. Эта разность давлений и приводит к появлению подъёмной силы.
Теория возникновения подъёмной силы крыла при обтекании его потоком газа была впервые разработана русским учёным Николаем Егоровичем Жуковским (1847—1921).
Вопросы:
1. Какая физическая модель используется при описании стационарного движения жидкости?
2. Какое движение жидкости называют:
а) ламинарным;
б) турбулентным?
Приведите примеры таких движений.
3. В чём заключается физический смысл:
а) уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости;
б) уравнения Бернулли для течения идеальной жидкости?
4. Приведите примеры использования уравнения Бернулли в технике.
5. Объясните природу подъёмной силы крыла самолёта.
Вопросы для обсуждения:
Два корабля А и В идут параллельными курсами на близком расстоянии друг от друга. Почему при одинаковом направлении движения корабли сближаются (рис. 5.29)?
2. Объясните, почему лёгкий шарик находится в струе воздуха в устойчивом равновесии (рис. 5.30).
