10 класс
§ 49. Применение первого закона термодинамики к изопроцессам
Изохорный процесс.
Первый закон термодинамики позволяет описать происходящие в термодинамической системе (идеальный газ в сосуде) изопроцессы, в которых один из её макроскопических параметров остаётся постоянным.
Рассмотрим процесс, происходящий с идеальным одноатомным газом в сосуде, объём которого в процессе не изменяется (V = const). Закрепим поршень в сосуде, после чего начнём медленно нагревать сосуд (рис. 7.10, а) так, чтобы газ находился в состоянии термодинамического равновесия в любой момент времени.
В этом случае рассматриваемый процесс будет изохорным нагреванием. График этого процесса 1 ⟶ 2 в координатах р, V показан на рисунке 7.10, б. Поскольку происходит изохорное нагревание, то работа газа равна нулю (A' = 0). Видно, что площадь под графиком процесса 1 ⟶ 2 равна нулю. При этом в точке 1 температура газа была T1, а в точке 2 она стала равной T2 (T2 > T1). Следовательно, при изохорном нагревании будет происходить увеличение внутренней энергии газа.
Запишем первый закон термодинамики в виде: Q = ΔU + А'. Поскольку А' = 0, а изменение внутренней энергии газа больше нуля, то Q = ΔU > 0. Итак, идеальный одноатомный газ в процессе изохорного нагревания получает количество теплоты, равное
Q = ΔU = 3/2vRΔT.
Изобарный процесс.
Рассмотрим процесс изобарного нагревания идеального газа, находящегося в сосуде под поршнем массой M и площадью его основания S. Система находится в состоянии термодинамического равновесия с окружающей средой, атмосферное давление равно р0. Пусть нагревание газа происходит медленно, так, чтобы газ находился в состоянии термодинамического равновесия в любой момент времени. В процессе расширения поршень сначала находился на высоте h1, а потом на высоте h2 в выбранной системе отсчёта (рис. 7.11, а).
График изучаемого процесса 1 ⟶ 2 в координатах р, V представлен на рисунке 7.11, б.
Из него видно, что в системе происходит расширение газа при постоянном давлении p1. Газ совершает положительную работу:
Через точку 1 и точку 2 можно провести изотермы (см. рис. 7.11, б). Температура системы в точке 2 больше температуры системы в точке 1. Следовательно, для идеального одноатомного газа выражение для изменения его внутренней энергии можно записать в виде:
Таким образом, при изобарном нагревании внутренняя энергия газа увеличивается.
При положительном изменении внутренней энергии и положительной работе газа он будет получать количество теплоты, т. е. Q > 0.
Итак, при изобарном нагревании газ получает количество теплоты, которое расходуется на изменение внутренней энергии газа (он нагревается) и на совершение газом работы. Работа, которую совершит 1 моль идеального газа, расширяющегося при постоянном давлении, равна
A' = RΔT. (1)
Это следует из выражения для работы газа при постоянном давлении А' = pΔV и уравнения состояния (для одного моля) идеального газа pV = RT.
Из формулы (1) становится понятным физический смысл универсальной газовой постоянной. Она численно равна работе, которую совершает 1 моль идеального газа при постоянном давлении, если его температура увеличивается на 1 К.
Рассчитаем теперь количество теплоты Q, полученное идеальным одноатомным газом при изобарном расширении:
Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона для точек 1 и 2:
Изотермический процесс.
Рассмотрим процесс, происходящий с идеальным газом при постоянной температуре. Пусть газ находится в длинном вертикальном цилиндре, снабжённом поршнем с винтом. Шаг нарезки винта так мал, что при закручивании винта (при уменьшении объёма) происходит очень медленное изменение объёма газа под поршнем (рис. 7.12, а). Если стенки цилиндра обладают достаточной теплопроводностью, то температура газа будет оставаться постоянной (равной температуре окружающей среды) и процесс можно считать изотермическим.
Построим график исследуемого процесса в координатах р, V (рис. 7.12, б). Из него видно, что объём газа уменьшается (V2 < V1), следовательно, над газом совершают работу внешние силы.
Внутренняя энергия системы при изотермическом процессе не изменяется, так как процесс происходит при постоянной температуре: ΔU = 0.
Запишем первый закон термодинамики в виде Q = ΔU + А'.
Поскольку работа газа в процессе изотермического сжатия отрицательная, а изменение внутренней энергии равно нулю, то газ в этом процессе отдаёт количество теплоты Q = A', т. е. Q < 0.
Количество теплоты по модулю будет численно равно площади под графиком зависимости давления газа от его объёма.
Адиабатический процесс.
После изучения первого закона термодинамики мы можем описать процесс, происходящий в системе при отсутствии теплообмена с окружающими телами. При этом работу над окружающими телами система может совершать.
Процесс в теплоизолированной системе называют адиабатическим.
При адиабатическом процессе Q = O и, согласно первому закону термодинамики ΔU = А + Q, изменение внутренней энергии системы происходит только за счёт совершения работы внешних сил:
ΔU = А.
Конечно, нельзя окружить систему оболочкой, абсолютно исключающей теплообмен. Но в ряде случаев реальные процессы очень близки к адиабатическим. Так, существуют оболочки, обладающие малой теплопроводностью, например двойные стенки с вакуумом между ними. В качестве примера можно привести известные вам термосы. Процесс можно считать адиабатическим даже без теплоизолирующей оболочки, если он происходит достаточно быстро, т. е. так, чтобы за время процесса не происходило заметного теплообмена между системой и окружающими телами.
Зависимость давления р газа от его объёма V при адиабатическом процессе изображается кривой, называемой адиабатой (рис. 7.13). Адиабата идёт круче изотермы. Ведь при адиабатическом процессе давление газа уменьшается не только за счёт увеличения объёма, как при изотермическом процессе, но и за счёт уменьшения его температуры.
Применим первый закон термодинамики к процессу адиабатического расширения. Пусть идеальный газ помещён под поршень цилиндра. Только теперь поршень снабжён винтом с крупным шагом нарезки, позволяющим быстро изменять объём газа. Будем раскручивать винт, тем самым изменяя объём газа достаточно быстро, так что теплообмен в системе не будет успевать происходить.
Построим график адиабатического расширения в координатах р, V (рис. 7.14, а).
При этом объём газа увеличивается от значения V1 до значения V2 (рис. 7.14, б). Площадь под графиком адиабатического расширения численно равна работе газа, в данном случае А' > 0. Тем самым, при адиабатическом расширении газ совершает положительную работу. Температура газа уменьшается (газ охлаждается), следовательно, ΔU < 0.
Запишем первый закон термодинамики для рассматриваемого процесса:
Q = ΔU + А'.
Поскольку Q = 0, то первый закон термодинамики примет вид:
A' = -ΔU.
Таким образом, при адиабатическом расширении газ совершает работу за счёт убыли своей внутренней энергии. Аналогичным образом можно показать, что при адиабатическом сжатии температура газа увеличивается, при этом его внутренняя энергия увеличивается за счёт совершаемой над газом работы.
Адиабатические процессы широко используют в технике. Нагревание воздуха при быстром сжатии нашло применение в дизельных двигателях (рис. 7.15).
Их изобретателем является немецкий инженер Рудольф Дизель (1858—1913). В дизельных двигателях отсутствуют системы приготовления и зажигания горючей смеси, необходимые для обычных бензиновых двигателей внутреннего сгорания.
В цилиндр засасывается не горючая смесь, а атмосферный воздух. К концу такта сжатия в цилиндр с помощью специальной форсунки (рис. 7.16) впрыскивается жидкое топливо.
К этому моменту температура сжатого воздуха увеличивается до 700 °C. Горючее, впрыскиваемое в цилиндр, воспламеняется при соприкосновении с раскалённым воздухом. Так как в двигателе Дизеля сжимается не горючая смесь, а воздух, то степень сжатия у этого двигателя больше, а значит, КПД дизельных двигателей выше, чем у обычных двигателей внутреннего сгорания. Кроме того, дизельные двигатели могут работать на более дешёвом низкосортном топливе.
Адиабатические процессы наблюдаются и в природе. Охлаждение газа при адиабатическом расширении происходит в грандиозных масштабах в атмосфере Земли.
Нагретый воздух поднимается вверх и расширяется, так как атмосферное давление падает с высотой. Это расширение сопровождается значительным охлаждением. В результате водяные пары конденсируются и образуются облака.
Теплоёмкость газа в изопроцессах.
Теплоёмкость зависит не только от свойств вещества, но и от процесса, при котором происходит теплообмен. Различают теплоёмкости при постоянном объёме Cv и постоянном давлении Cp, если в процессе нагревания вещества его объём или давление поддерживается постоянным.
Пусть процесс является изохорным. Согласно определению теплоёмкости и первому закону термодинамики, 
. Таким образом, при постоянном объёме изменение внутренней энергии ΔU = CvΔT. Согласно определению, при изобарном процессе Qp = CpΔT. Внутренняя энергия идеального газа не зависит от объёма. Поэтому и при постоянном давлении изменение внутренней энергии ΔU = CvΔT как и при постоянном объёме. Применяя первый закон термодинамики, получим:
Следовательно, молярные теплоёмкости идеального газа связаны соотношением:
Впервые эта формула была получена Майером и носит его имя (формула Майера). В случае идеального одноатомного газа
Если нагревать тело при постоянном давлении, то оно будет расширяться и совершать работу. Именно поэтому для нагревания тела на 1 К при постоянном давлении ему нужно передать большее количество теплоты, чем при таком же нагревании при постоянном объёме. Таким образом, молярная теплоёмкость смр всегда больше молярной теплоёмкости смv на величину универсальной газовой постоянной.
Формально можно ввести понятие теплоёмкости и при изотермическом процессе. Но при этом процессе внутренняя энергия идеального газа не меняется, несмотря на то, какое бы количество теплоты ему ни было передано, поэтому теплоёмкость газа будет стремиться к бесконечности.
При адиабатическом процессе Q = 0, но температура газа изменяется. Согласно определению теплоёмкости получаем, что при адиабатическом процессе теплоёмкость газа равна нулю.
Вопросы:
1. Как можно осуществить:
а) изохорное нагревание;
б) изобарное нагревание;
в) изотермическое расширение?
2. Какой изопроцесс называют адиабатическим?
3. Как изменяется внутренняя энергия газа:
а) при изохорном нагревании;
б) изобарном нагревании;
в) изотермическом расширении;
г) адиабатическом сжатии?
4. Положительна, отрицательна или равна нулю работа газа при:
а) изохорном нагревании;
б) изобарном нагревании;
в) изотермическом сжатии;
г) адиабатическом расширении?
5. Запишите первый закон термодинамики для рассмотренных изопроцессов. Получает или отдаёт система количество теплоты в каждом из данных процессов?
6. Какой физический смысл имеет универсальная газовая постоянная?
Вопросы для обсуждения:
1. Как можно объяснить образование облачка тумана у горлышка охлаждённой бутылки с лимонадом сразу, как только её открывают?
2. В каком случае изменение давления газа будет большим: при адиабатическом или при изотермическом сжатии?
Пример решения задачи
В вертикальном цилиндре под тяжёлым поршнем находится кислород массой 2 кг. Для повышения температуры кислорода на 5 К ему было сообщено количество теплоты, равное 9,16 ∙ 103 Дж. Определите изменение внутренней энергии газа.
В рассматриваемом процессе А' > 0, А' = p1(V2 - V1).
Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона для состояний 1 и 2:
Используя выражения (1) и (2), получим
Кислород — двухатомный газ, поэтому
Таким образом,
Из выражений (3) и (4) следует, что
Подставляя числовые данные, получим:
Ответ: ΔU ≈ 6543 Дж.
Упражнения:
1. В сосуде ёмкостью 2 л находится гелий под давлением 1 МПа. Стенки сосуда могут выдержать давление 2 МПа. Какое наибольшее количество теплоты можно сообщить газу, чтобы сосуд не взорвался?
2. Какое количество теплоты отводится от 1 моля гелия при его изобарном охлаждении от 200 до 27 °C?
3. При изобарном расширении идеальный одноатомный газ совершил работу 2 Дж. Чему равно изменение внутренней энергии газа и сообщённое ему количество теплоты?
4. При изотермическом расширении идеальному газу сообщили количество теплоты 10 Дж. Какую работу совершил газ?
5. При адиабатическом процессе 1 моль идеального одноатомного газа совершил работу 200 кДж. Как и на сколько изменилась его внутренняя энергия? На сколько градусов Кельвинов изменилась при этом температура газа?
6. Один моль идеального одноатомного газа изохорно охладили на 100 °C, затем газ адиабатически сжали до первоначальной температуры. Найдите работу газа, изменение внутренней энергии и количество теплоты, сообщённое в этом процессе.
7. Внутренняя энергия идеального одноатомного газа в ходе некоторого процесса изменилась на 750 Дж. Какую работу совершил газ и чему равно количество теплоты, полученное газом, если процесс:
а) изохорный;
б) адиабатический;
в) изобарный?
8. Кислород массой 0,3 кг при начальной температуре 320 К охладили изохорно, при этом его давление уменьшилось в 3 раза. Затем газ изобарно нагрели до первоначальной температуры. Определите работу газа.
