10 класс
§ 61. Напряжённость поля различной конфигурации зарядов
Напряжённость поля равномерно заряженной сферы.
Когда заряд распределён по какой-либо поверхности, то для расчёта напряжённости электрического поля вводят физическую величину — поверхностную плотность заряда. Её обозначают буквой сигма (σ).
Поверхностной плотностью заряда называют отношение заряда Δq к площади поверхности ΔS, по которой он распределён.
Единица поверхностной плотности заряда в СИ — 1 Кл/м2.
В случае равномерного распределения заряда q по поверхности площадью S поверхностная плотность заряда постоянна и равна
Докажем, что напряжённость электростатического поля в любой точке внутри заряженной сферы всегда равна нулю. Для этого выберем произвольную точку А внутри сферы (рис. 9.26) и построим два симметричных конуса с одинаковыми малыми углами при вершине.
На поверхности сферы конусы отсекают малые сферические участки (площадки), которые можно считать плоскими. Конусы подобны друг другу, так как их углы при вершине равны. Отсюда следует, что площади оснований малых сферических участков относятся как квадраты расстояний от точки А до площадок. Таким образом,
Согласно формуле (1), заряды площадок g1 = σS1 и g2 = σS2. Считая эти заряды точечными, найдём напряжённость E поля, создаваемого ими в точке А.
На такие пары участков можно разбить из точки А всю поверхность сферы. Следовательно, согласно принципу суперпозиции, напряжённость поля, создаваемого в точке А всей сферой, равна нулю. Это справедливо и для любой другой точки внутри сферы.
Найдём модуль напряжённости поля вне сферы радиусом R. Линии напряжённости начинаются на поверхности сферы (в случае положительного заряда), направлены по радиусам сферы и перпендикулярны её поверхности (рис. 9.27). Поэтому модуль напряжённости поля одинаков во всех точках, равноудалённых от центра сферы.
Используя принцип суперпозиции и метод графического изображения электрических полей, можно показать, что поле заряженной сферы совпадает вне сферы с полем точечного заряда, расположенным в центре сферы. Следовательно, модуль напряжённости электростатического поля при r ≥ R равен
График зависимости E (r) для этого случая изображён на рисунке 9.28. Из него видно, что и это электростатическое поле неоднородно и его напряжённость убывает с расстоянием. Другими словами, густота силовых линий электростатического поля становится при удалении от сферы всё меньше.
Напряжённость поля равномерно заряженной плоскости.
Рассмотрим бесконечную равномерно заряженную плоскость. Пусть по её поверхности распределён отрицательный заряд с поверхностной плотностью, равной -σ. Модуль поверхностной плотности заряда σ известен. Так как любому заряду Δgi можно сопоставить заряд Δgj, симметричный ему относительно произвольной оси OO', перпендикулярной плоскости (рис. 9.29), то по принципу суперпозиции результирующий вектор напряжённости 
p будет направлен к плоскости.
Из соображений симметрии очевидно, что для бесконечно протяжённой во всех направлениях плоскости линии напряжённости электростатического поля представляют собой прямые, перпендикулярные плоскости (рис. 9.30).
Поле бесконечной плоскости — однородное поле. Во всех точках пространства, независимо от расстояния до плоскости, напряжённость поля плоскости одна и та же (см. рис. 9.30). Другими словами, густота силовых линий однородного поля одинакова на любом расстоянии от пластины. Есть только одно ограничение: размеры пластины должны быть значительно больше, чем расстояния, на которых мы определяем напряжённость электрических полей.
Выражение для модуля напряжённости однородного поля равномерно заряженной плоскости мы приведём без вывода:
Напряжённость поля двух бесконечных параллельных равномерно заряженных пластин.
Пусть даны две параллельные пластины, заряженные равномерно разными по знаку, но одинаковыми по модулю зарядами. При этом первая пластина заряжена с поверхностной плотностью, равной σ, а вторая — с поверхностной плотностью -σ.
По принципу суперпозиции, очевидно, что результирующее электрическое поле создаётся полем положительно заряженной пластины и полем отрицательно заряженной пластины (рис. 9.31).
В областях I, II и III пространства вокруг пластин модуль напряжённости поля, созданного каждой из пластин 1 и 2, вычисляется по формуле (2). Модули напряжённостей полей, созданных пластинами 1 и 2, равны
Согласно принципу суперпозиции электрических полей, результирующая напряжённость поля в областях I и III пространства равна нулю, а в области II она равна модулю суммарной напряжённости пластин.
Соответствующий график зависимости Е(r) представлен на рисунке 9.32. Из него следует, что электрическое поле между пластинами можно считать практически однородным, а снаружи его напряжённость равна нулю.
Вопросы:
1. Как можно определить напряжённость поля, созданного равномерно заряженной плоскостью?
2. Чему равна напряжённость поля, создаваемого равномерно заряженной сферой:
а) внутри сферы;
б) вне этой сферы?
3. Охарактеризуйте электрическое поле, созданное двумя бесконечными параллельными равномерно заряженными пластинами.
Вопросы для обсуждения:
1. Как вы думаете, какой физический смысл имеют:
а) объёмная плотность заряда;
б) линейная плотность заряда?
2. Заряженный лист фольги имеет те же размеры, что и страница из тетради. Можно ли определить модуль напряжённости электрического поля, созданного на расстоянии 0,5 см от него, используя формулу (2)?
Упражнения:
1. Вблизи вертикальной стены на непроводящей и невесомой нити висит маленький шарик массой 2 г. Поверхность стены и шарик заряжены одноимённо. Заряд шарика равен по модулю 3 ∙ 10 -9 Кл. Шарик отклоняется от вертикали на угол, равный 45°. Определите поверхностную плотность σ заряда стены.
2. Две концентрические заряженные сферы (такое устройство иногда называют сферическим конденсатором) имеют радиусы 0,1 и 0,5 м соответственно. Нa каждой из сфер нанесены разноимённые, ноодинаковые по модулю заряды, равные 10 -9 Кл. Найдите напряжённость результирующего поля на поверхности внутренней и наружной сфер.
