10 класс
Общие рекомендации по выполнению лабораторных работ
Вычисление погрешностей в лабораторных работах по физике
Самым простым является вычисление погрешности прямого измерения. При оценке точности прямого измерения необходимо учитывать случайную погрешность и погрешность средств измерения.
Выполнив n измерений величины х при неизменных условиях опыта, получим её значения x1, x2, x3 и т. д. Разброс значений физической величины является неизбежным и вызван тем, что любой человек допускает неточности при повторных измерениях. Наилучшим приближением к истинному значению величины х является среднее арифметическое измеренных значений:
C достаточной степенью точности можно считать случайной погрешностью величину среднего отклонения результатов от среднего арифметического значения:
где хср — среднее значение измеренной величины; n — количество измерений одной и той же величины при одинаковых условиях.
Погрешность средств измерения (инструментальная погрешность) Δхпр — разность между показаниями прибора и истинным значением измеряемой величины.
Погрешность средств измерения является систематической, т. е. даёт отклонение измеренной величины от истинного значения в одну сторону, но мы не знаем, в какую именно. Все приборы позволяют проводить измерения с определённой точностью, абсолютно точных измерений не бывает! В приборах, у которых переход от одного значения к другому осуществляется скачком (стрелочный секундомер, весы с разновесами), инструментальная погрешность равна цене деления шкалы прибора.
Инструментальная погрешность приборов, снабжённых нониусом (штангенциркуль, микрометр), равна точности нониуса.
Погрешности электроизмерительных стрелочных приборов рассчитываются по классу точности. Класс точности К определяется отношением абсолютной погрешности Δх измерения к используемому пределу прибора Xmax и выражается в процентах.
Следовательно, абсолютная погрешность измерения данным прибором рассчитывается по формуле:
Электроизмерительные приборы имеют восемь классов точности: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5: 4,0. Чем выше класс точности, тем меньше значение К и меньше погрешность измерения.
Обратите внимание, что погрешность измерения физических величин цифровыми приборами рассчитывается по формулам, представленным в паспорте прибора. Для других приборов с делениями (линейка, транспортир, термометр и т. п.) в качестве инструментальной погрешности принимается погрешность отсчёта, равная цене деления шкалы прибора.
Полная (результирующая) абсолютная погрешность прямого измерения рассчитывается по формуле:
Если случайная погрешность значительно больше приборной, то это говорит о том, что эксперимент проведён некачественно и следует ещё раз получить результаты. При этом необходимо увеличить число измерений, чтобы уменьшить случайную погрешность.
Если данная физическая величина измеряется один раз, то в качестве абсолютной погрешности прямых измерений используют инструментальную погрешность Δхпр. При этом результат прямых измерений записывается в виде:
Вкратце рассмотрим вопрос о расчёте погрешностей измерения физических постоянных, табличных данных, данных установок. Табличные данные, физические постоянные считают точными величинами. В этом случае значение данной величины подставляется в расчётную формулу с числом значащих цифр на одну больше, чем число значащих цифр в результатах прямых измерений. Если же табличные данные, данные установок определены с точностью, сопоставимой с результатом прямых измерений, то такие данные считаются приближёнными, и погрешность табличной величины принимают равной половине единицы младшего разряда используемого числа.
Погрешность косвенных измерений.
Результатом косвенных измерений является величина Y, рассчитанная по соответствующей формуле с использованием средних значений результатов прямых измерений. Формула для вычисления относительной погрешности косвенного измерения зависит от вида расчётной формулы для Y.
В таблице 1 приведены основные формулы, которые используют при обработке косвенных измерений физических величин. Буквами В, С, D обозначены величины, измеренные прямым способом, буквой А — результат некоторых алгебраических действий с величинами В, С, D. Таким образом, величина А — косвенно измеренная физическая величина.
Таблица 1
Абсолютная погрешность косвенного измерения ΔY может быть рассчитана по формуле:
Правила округления и записи результата.
Результат прямого или косвенного измерения должен быть округлён с учётом погрешности измерения: разряд последней значащей цифры результата должен совпадать с разрядом последней значащей цифры погрешности. Результат записывают с указанием погрешности, определяющей доверительный интервал:
Приведём пример. В эксперименте была определена ёмкость конденсатора C = 4,1435 ∙ 10 -8 Ф и абсолютная погрешность AC = 1,23 ∙ 10 -9 Ф. При записи результата представим значение величины и её погрешность в виде X ∙ 10 -8, т. е. с одинаковым показателем степени 10. Окончательный результат получим в виде:
Правило сравнения результатов. Пусть истинное значение измеряемой величины известно или в ходе исследования одна и та же величина определяется разными способами. Значения двух величин А и В считаются совпадающими, если их доверительные интервалы перекрываются (рис. 1).
В этом случае выполняется соотношение:
Построение графиков. Нахождение физических величин по графику.
При изучении зависимости одной измеряемой величины от другой бывает удобно представить результаты в форме графика. Он позволяет получить общее качественное представление о характере зависимости, а также судить о том, соответствуют ли экспериментальные данные той или иной теоретической зависимости. На графиках можно обнаружить «выпадение» точек, которые характеризуют измерения, проведённые с грубыми погрешностями (промахами).
Графики следует строить на листах миллиметровой бумаги. Масштаб графика по обеим осям нужно выбирать так, чтобы предполагаемые зависимости обладали наибольшей наглядностью и заполняли большую часть графика. Стрелки на концах экспериментальных графиков не ставят (стрелки принято ставить лишь на иллюстрационных графиках качественного характера, построенных в произвольном масштабе). На концах осей (если на оси используется лишь интервал, то и в начале оси) нужно указать обозначение соответствующих физических величин и единицы измерений этих величин.
Учитывая, что миллиметровая бумага имеет очень мелкую сетку, оцифровывать нужно лишь деления крупной сетки. Допустимые значения, определяющие масштабы, следующие: 0, 1, 2, 3, ...; 0, 2, 4, 6, ...; 0, 5, 10, ... . Эти значения могут быть умножены на 10 ±n. Не следует наносить на оси числовые значения величин, полученных в ходе опыта!
Под графиком должно быть сделано пояснение или название. Возможные варианты графического представления результатов показаны на рисунках 2, а, б.
Часто графики строятся с целью нахождения различных физических величин. Проще всего это сделать, если искомая физическая величина является коэффициентом пропорциональности в линейной функции y = kx + y0 (например, жёсткость пружины является коэффициентом пропорциональности между значениями силы упругости пружины и деформации). Рекомендуется следующая последовательность действий:
1) нанести на график точки, соответствующие измеренным значениям;
2) провести оптимальную прямую через эти точки таким образом, чтобы количество экспериментальных точек, расположенных выше и ниже оптимальной прямой, было примерно равным (рис. 3);
3) ограничить полосу, в которой находятся точки, прямыми, параллельными оптимальной линии и проходящими через наиболее удалённые от оптимальной прямой точки (на рис. 3 они показаны штриховыми линиями);
4) определить тангенс наклона прямой по формуле 
в соответствующих единицах измерения;
5) рассчитать погрешность искомой физической величины по формуле:
Абсолютные погрешности Δy и Δx определяются по графику (см. рис. 3) по расстояниям между вспомогательными линиями.
