11 класс
§ 4. Соединение проводников
Электрические цепи. Разветвлённые цепи.
Энергия передаётся от источника тока к потребителям (лампам, электродвигателям, радиоприёмникам и т. д.) по проводам. Источник тока, потребители (как правило, их несколько), соединительные провода и выключатели образуют электрическую цепь. Часто в цепь включают измерительные приборы — амперметры и вольтметры. Все элементы электрической цепи определённым образом соединяют между собой. На практике проводники чаще всего соединяют последовательно или параллельно.
Очень часто в электрических цепях в одной точке сходится несколько (больше двух) проводников. Например, при включении вольтметра для измерения напряжения на зажимах лампы (рис. 1.16) в точках 1 и 2 сходится по три проводника. Такие точки называются точками разветвления или узлами.
На рисунке 1.17 в точке разветвления А цепи сходятся пять проводников.
Обозначим силу тока в них через I1, I2, I3, I4 и I5. Из рисунка видно, что токи I1, I2 и I3 направлены к узлу и за произвольный промежуток времени Δt приносят в этот узел суммарный заряд (I1 + I2 + I3)Δt. Токи I4 и I5 направлены от узла и уносят за это же время заряд (I1 + I3)Δt. Полное изменение заряда в узле за промежуток времени Δt равно
В цепи постоянного тока потенциалы всех точек цепи, а следовательно, и узлов должны оставаться неизменными. Следовательно, в них не могут накапливаться ни положительные, ни отрицательные заряды. В частности, для узла А изменение заряда Δq должно равняться нулю для любого интервала времени, т. е.
Рассматривая силу тока как алгебраическую величину, имеющую знак «плюс», если ток подходит к узлу, и знак «минус», если ток направлен от узла, последнее равенство можно записать в виде
Если в узле сходятся N токов, то
Алгебраическая сумма сил токов в проводниках, сходящихся в узле, равна нулю.
Это утверждение называют первым правилом Кирхгофа в честь немецкого физика Густава Кирхгофа (1824—1897), который в 1847 г. установил правила расчёта электрических цепей.
Последовательное соединение проводников.
Последовательным соединением проводников называют соединение, при котором конец первого проводника соединяется с началом второго проводника, конец второго проводника — с началом третьего и т. д.
На рисунке 1.18 показано последовательное соединение трёх проводников, имеющих сопротивления R1, R2 и R3.
При последовательном соединении проводников выполняются следующие соотношения.
1. Сила тока во всех последовательно соединённых проводниках одинакова:
I1 = I2 = I3 = I.
2. Напряжение (или разность потенциалов) на концах рассматриваемого участка цепи равно сумме напряжений на отдельных проводниках:
U = U1 + U2 + U3. (1)
Действительно: U1 = φ0 - φ1; U2 = φ1 - φ2 и U3 = φ2 - φ3. Складывая U1, U2 и U3, получим φ0 - φ3 = U. В справедливости равенства (1) можно убедиться и непосредственным измерением при помощи вольтметра напряжений на всём участке цепи и на отдельных проводниках.
3. Согласно закону Ома, напряжения на отдельных проводниках равны: U1 = IR1, U2 = IR2, U3 = IR3.
Отсюда следует, что
При последовательном соединении напряжения на проводниках пропорциональны их сопротивлениям.
4. Разделив равенство (1) почленно на силу тока I, получим
где R — сопротивление всего рассматриваемого участка цепи.
Сопротивление участка цепи, состоящего из нескольких последовательно соединённых проводников (общее сопротивление), равно сумме сопротивлений отдельных проводников.
Параллельное соединение проводников.
Параллельным соединением проводников называют соединение, когда одни концы всех проводников соединяются в один узел (А), а другие концы — в другой узел (В) (рис. 1.19).
При параллельном соединении различают ветви — отдельные проводники между узлами, разветвление — часть цепи между двумя узлами и неразветвлённую часть цепи, лежащую вне разветвления.
При параллельном соединении выполняются следующие соотношения.
1. Напряжения на всех ветвях и на разветвлении одинаковы, так как все они равны разности потенциалов точек А и В цепи:
U1 = U2 = U3 = U = φA - φB
2. Согласно первому правилу Кирхгофа, можно записать:
I = I1 + I2 + I3. (2)
Сила тока в неразветвлённой части цепи равна сумме сил токов в ветвях.
3. Согласно закону Ома для участка цепи,
Отсюда следует, что 
Силы токов в ветвях обратно пропорциональны сопротивлениям этих ветвей.
4. Сопротивлением разветвления R называют сопротивление такого проводника, которым можно заменить разветвление без изменения силы тока в неразветвлённой части цепи и напряжения между узлами. Используя закон Ома, заменим в равенстве (2) значения сил токов:
Разделив обе части равенства на U, получим
Величина, обратная сопротивлению разветвления, равна сумме величин, обратных сопротивлениям отдельных ветвей.
Учитывая, что 1/R = G, можно записать:
G = G1 + G2 + G3.
Проводимость разветвления равна сумме проводимостей отдельных ветвей.
Отметим, что сопротивление разветвления меньше наименьшего из сопротивлений его ветвей. В самом деле, пусть сопротивление і-й ветви является наименьшим, тогда из равенства
следует, что 
(сумма больше каждого из отдельных слагаемых).
Отсюда R < R1.
Если разветвление состоит из двух ветвей, то
Если сопротивления отдельных ветвей равны между собой:
Общее сопротивление п одинаковых, параллельно соединённых проводников равно сопротивлению одного проводника, делённому на их число.
Смешанное соединение проводников.
Смешанным соединением проводников называют соединение в цепи, в которой имеются и последовательное, и параллельное соединения проводников. На рисунке 1.20 в качестве примера приведена схема смешанного соединения проводников.
В цени имеются два последовательно соединённых участка: участок АВ, состоящий из одного резистора Rl, и участок ВС, состоящий из двух параллельных ветвей.
Так как одна параллельная ветвь имеет сопротивление R2 + R3 (ветвь содержит два последовательно соединённых резистора R2 и R3), а вторая — R4, то сопротивление участка BC равно
а общее сопротивление всех участков цепи
Вопросы:
1. Какие точки цепи называют разветвлениями или узлами?
2. В чём заключается первое правило Кирхгофа?
3. Какое соединение проводников в цепи называют:
а) последовательным;
б) параллельным;
в) смешанным?
4. Запишите основные соотношения, которые выполняются для:
а) последовательного соединения;
б) параллельного соединения трёх проводников в цепи.
Вопросы для обсуждения:
1. В ёлочной гирлянде электрические лампочки соединены последовательно. К ней последовательно подключили ещё две лампочки.
Как изменится сила тока в цепи, если напряжение на концах гирлянды осталось тем же?
2. Три одинаковых резистора, сопротивлением R каждый, включены в цепь так, как показано на рисунке 1.21. Каким будет сопротивление между точками А и В?
Пример решения задачи
Напряжение между точками А и В участка цепи, схема которого изображена на рисунке 1.22, составляет 90 В.
Сопротивление лампы Л2 равно сопротивлению лампы Лl, а сопротивление лампы Л3 в 4 раза больше сопротивления лампы Лl. Сила тока, текущего через лампу Лl, равна 0,5 А. Найдите сопротивление каждой лампы, напряжение на лампах Л2 и Л3 и силу тока в них.
Упражнения:
1. Четыре электрические лампы, рассчитанные на напряжение 3 В и силу тока 0,1 А, нужно включить параллельно к источнику с напряжением 5,4 В. Резистор какого сопротивления следует подключить последовательно лампам?
2. В сеть с напряжением 220 В включены последовательно десять электрических ламп с сопротивлением по 24 Ом, рассчитанных на напряжение 12 В. Определите силу тока в цепи и сопротивление реостата, который необходимо включить в цепь.
3. Электрическую лампу с сопротивлением 240 Ом, рассчитанную на напряжение 120 В, нужно подключить к сети с напряжением 220 В. Какой длины нихромовый проводник с площадью поперечного сечения 0,55 мм2 следует подключить последовательно с лампой?
4. Чему равно сопротивление цепи, схема которой показана на рисунке 1.24, если сопротивление каждого резистора R?
