11 класс
§ 19. Движение заряженных частиц в магнитном поле. Сила Лоренца
Сила Лоренца.
Значительный интерес представляет движение заряженных частиц в области пространства, где одновременно имеются электрическое и магнитное поля. Для этого случая Лоренц получил выражение для силы, которую в честь него называют силой Лоренца. Она представляет собой сумму сил, действующих на заряженную частицу, которая движется в электрическом и магнитном полях.
Пусть заряженная частица с зарядом q движется со скоростью 
в однородном магнитном поле с индукцией 
и в однородном электрическом поле с напряжённостью 
. Электрическое поле действует на заряд
q с силой, модуль которой равен Fэ = qE. Эта составляющая силы Лоренца получила название электрической составляющей. В магнитном поле на движущуюся частицу действует магнитная составляющая силы Лоренца.
Её модуль можно найти с помощью закона Ампера. Предположим, что проводник с током находится в однородном магнитном поле. Вдоль проводника движутся заряженные частицы. Рассмотрим отрезок проводника длиной Δl и площадью поперечного сечения S (рис. 3.38).
На него со стороны магнитного поля действует сила Ампера. В § 1 "Условия существования электрического тока. Электрический ток в проводниках" была выведена формула, определяющая силу тока в проводнике:
I = qnυS.
Подставив это выражение в формулу для модуля силы Ампера FA = BIΔlsin α, получим
FA = BqnvSΔlsin α,
где N = nSΔl — число заряженных частиц в рассматриваемом объёме SΔl. Магнитная составляющая силы Лоренца равна по модулю
где α — угол между векторами и .
Магнитная составляющая силы Лоренца всегда перпендикулярна плоскости, в которой располагаются вектор скорости заряженной частицы и вектор индукции магнитного поля.
В силу того что данная сила перпендикулярна скорости частицы, она не совершает работы.
Следовательно, если есть и электрическое поле, и магнитное, то полная сила 
, действующая на движущуюся частицу, равна
= э + л.
Для определения направления магнитной составляющей силы Лоренца используют правило левой руки.
Если левую руку расположить так, чтобы линии магнитной индукции входили в ладонь, а четыре вытянутых пальца показывали направление скорости движения положительно заряженной частицы, то отогнутый (в плоскости ладони) на 90° большой палец покажет направление действующей на заряженную частицу магнитной составляющей силы Лоренца.
Если в магнитном поле движутся отрицательно заряженные частицы, то пальцы левой руки следует располагать противоположно направлению вектора скорости. Для иллюстрации применения правила левой руки приведём рисунок 3.39.
На нём штриховыми линиями указаны траектории движения зарядов (на рис. 3.39, а — положительного заряда, на рис. 3.39, б — отрицательного заряда).
Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле.
Рассмотрим наиболее простой случай движения заряженной частицы в магнитном поле — это движение в однородном магнитном поле с индукцией, перпендикулярной начальной скорости частицы (рис. 3.40).
Так как магнитное поле не изменяет модуля скорости заряженной частицы, то остаётся неизменным и модуль магнитной составляющей силы Лоренца. Поскольку эта сила перпендикулярна скорости, то частица движется с центростремительным ускорением. Неизменность по модулю центростремительного ускорения частицы, движущейся с постоянной по модулю скоростью, означает, что радиус кривизны R траектории частицы постоянен. Частица движется равномерно по окружности радиусом R. Согласно второму закону Ньютона,
Следовательно, измерив R при известных υ и В, мы можем определить удельный заряд 
различных частиц.
Масс-спектрограф.
C помощью магнитного поля можно разделять заряженные частицы по их удельным зарядам и точно определять массы частиц. Разделение частиц осуществляется в масс-спектрографах 1.
1 Масс-спектрограф был впервые сконструирован в 1919 г. учеником Дж. Дж. Томсона — Франсисом Астоном (1877—1945). C помощью этого прибора он произвёл точные измерения масс и дефектов масс ряда изотопов.
На рисунке 3.41, а изображена схема простейшего масс-спектрографа, а на рисунке 3.41, б — внешний вид современного прибора. Вакуумная камера масс-спектрографа помещена в магнитное поле (вектор магнитной индукции перпендикулярен рисунку). Ускоренные электрическим полем заряженные частицы (электроны или ионы), описав дугу, попадают на фотопластинку, где оставляют след, позволяющий с большой точностью измерить радиус траектории R. По этому радиусу можно определить удельный заряд иона и, следовательно, его массу.
Циклотрон.
Используя формулу для радиуса траектории, найдём время прохождения заряженной частицей полуокружности:
т. е. Δt зависит только от свойств частицы и индукции магнитного поля.
Этот факт был использован американским физиком Эрнестом Лоуренсом (1901 — 1958), который в 1931 г. создал циклотрон. Это устройство позволяет ускорять заряженные частицы сравнительно небольшим электрическим полем в течение ряда циклов.
Рассмотрим устройство циклотрона (рис. 3.42).
Два электрода специальной формы — дуанты находятся в камере, где поддерживается вакуум (рис. 3.43).
Дуанты помещают между полюсами сильного магнита, и к ним подводится переменная разность потенциалов. В центре камеры между дуантами располагают источник заряженных частиц. В тот момент, когда между дуантами существует высокая разность потенциалов, электрическое поле в промежутке между ними ускоряет заряженные частицы.
Ускоренные частицы влетают во внутреннюю часть дуанта, где электрическое поле практически отсутствует. Двигаясь под действием магнитной составляющей силы Лоренца по окружности, заряженные частицы через половину оборота снова появляются в щели между дуантами.
Те из частиц, которые двигались с подходящей скоростью, пройдут через щель как раз в тот момент (через половину периода изменения приложенного к дуантам напряжения), когда там электрическое поле успеет сменить своё направление на противоположное. Такие частицы снова ускоряются, описывают внутри другого дуанта полуокружность ещё большего радиуса и снова в необходимый момент подходят к ускоряющему промежутку (время прохождения частицами полуокружности остаётся неизменным, так как оно не зависит от скорости частицы) и т. д. Остальные частицы ускоряются незначительно или совсем не ускоряются.
Циклотроны и другие более мощные ускорители заряженных частиц (например, фазотроны, синхротроны, синхрофазотроны) находят широкое применение в ядерной физике и физике элементарных частиц. Изучая столкновения ускоренных частиц с частицами мишени, физики получают возможность исследовать строение микрочастиц, действующие между ними силы, взаимные превращения элементарных частиц.
Магнитный щит земли.
Магнитное поле Земли оказывает существенное влияние на поток заряженных частиц из космоса (космические лучи). Оно образует третий «защитный пояс» наряду с атмосферой и ионосферой, защищающий живые организмы на Земле от губительного действия космических лучей.
На большой высоте магнитное поле Земли невелико, но захватывает громадные области пространства. Действуя на заряженную частицу длительное время, оно существенно изменяет её траекторию. Вместо прямой линии получается спираль, навивающаяся на линии индукции магнитного поля (рис. 3.44).
На летящую вдоль линии магнитной индукции частицу сила Лоренца не действует. Вот почему частицы свободно могут приближаться к полюсам, откуда веером расходятся линии магнитной индукции.
Кроме того, магнитное поле Земли удерживает на большой высоте заряженные частицы не слишком больших энергий. Эти области с повышенной концентрацией заряженных частиц, окружающих земной шар, называют радиационными поясами. Большинство частиц внешнего радиационного пояса Земли составляют электроны, а её внутреннего радиационного пояса — протоны (рис. 3.45).
Протоны задерживаются более сильным магнитным полем во внутреннем радиационном поясе. В радиационных поясах заряженные частицы движутся от одного полюса к другому, оставаясь в «магнитной ловушке».
Вопросы:
1. Что называют:
а) электрической составляющей силы Лоренца;
б) магнитной составляющей силы Лоренца?
2. В каком случае магнитная составляющая силы Лоренца будет максимальной?
3. Как можно определить направление магнитной составляющей силы Лоренца, действующей:
а) на положительно заряженную частицу;
б) на отрицательно заряженную частицу?
4. Для чего используют:
а) масс-спектрограф;
б) циклотрон?
5. Как влияет магнитное поле Земли на потоки космических лучей?
Вопросы для обсуждения:
1. Действует ли магнитная составляющая силы Лоренца:
а) на незаряженную частицу в однородном магнитном поле;
б) на заряженную частицу, покоящуюся в магнитном поле;
в) на заряженную частицу, движущуюся вдоль линий магнитного поля?
2. Как будет двигаться положительно заряженная частица в параллельных электрическом и магнитном полях, если её начальная скорость направлена под некоторым углом к и к ?
Пример решения задачи
Электрон влетает в однородное магнитное поле с индукцией 10 -3 Тл перпендикулярно линиям магнитной индукции и под углом α = π/4 к границе поля (рис. 3.46, а).
Модуль скорости электрона равен 106 м/с. В направлении осей X и Y магнитное поле безгранично. На каком расстоянии от точки влёта электрон вылетит из поля? Отношение заряда электрона к его массе e/m = 1,76 ∙ 1011 Кл/кг.
В магнитном поле под действием магнитной составляющей силы Лоренца электрон опишет дугу окружности. Найдём её радиус R. Запишем второй закон Ньютона:
m
= л .
Ответ: l = 8 мм.
Упражнения:
1. Протон в магнитном поле с индукцией 0,01 Тл описал окружность радиусом 10 см. Чему равна скорость протона?
2. Найдите ускорение протона, который движется со скоростью 2 м/с в магнитном поле с индукцией 3 мТл перпендикулярно линиям магнитной индукции.
3. Определите кинетическую энергию электрона, движущегося по окружности радиусом 1 см в однородном магнитном поле с индукцией 0,03 Тл. Приведите ответ в Дж и в эВ.
4. Протон с энергией 600 эВ влетает в однородное магнитное поле с индукцией 0,33 Тл перпендикулярно линиям магнитной индукции. Найдите радиус траектории протона. Будет ли изменяться кинетическая энергия протона при движении в этом магнитном поле?
5. Электрон влетает в однородное магнитное поле с индукцией 9,4 мТл так, что вектор его скорости составляет угол 30° с направлением линий магнитной индукции (рис. 3.47).
Определите радиус витков траектории электрона и расстояние, пройденное им вдоль линии магнитной индукции за три витка. Скорость электрона равна 2,5 ∙ 106 м/с.
6. Электрон, влетающий в однородное магнит
ное поле под углом 60° к линиям магнитной индукции, движется по спирали диаметром 10 см с периодом обращения 6 ∙ 10 -5 с. Определите скорость электрона, индукцию магнитного поля и шаг спирали.
