11 класс
§ 53. Дифракционная решётка
Устройство дифракционной решётки.
На явлении дифракции света основано действие дифракционной решётки 1 (рис. 8.29, а, б).
1 B 1785 - 1786 гг. американский учёный Дэвид Риттенхаус (1732—1700) изобрёл первую дифракционную решётку, использовав для этого 50 волосков, натянутых между двумя винтами с мелкой резьбой (примерно 100 линий на дюйм). Большой заслугой Фраунгофера является широкое использование им дифракционных решёток для исследования спектров.
Дифракционная решётка представляет собой совокупность большого числа очень узких щелей, разделённых непрозрачными промежутками.
Дифракционная решётка изготовляется с помощью специальной делительной машины, наносящей на стеклянной пластине параллельные штрихи. Число штрихов доходит до нескольких тысяч на 1 мм; общее число штрихов превышает 100 000. Наилучшими качествами обладают так называемые отражательные решётки. Они представляют собой чередование участков, отражающих и рассеивающих свет. Рассеивающие свет штрихи наносятся резцом на отшлифованной металлической пластине.
Если ширина прозрачных щелей (или отражающих свет полос) равна a, а ширина непрозрачных промежутков (или рассеивающих свет полос) равна b, то величину d = а + b называют периодом решётки (или постоянной решётки).
Дифракционная картина на решётке.
Пусть на прозрачную дифракционную решётку с периодом d нормально падает плоская монохроматическая волна с длиной волны λ. Дифракционную картину будем наблюдать на экране, расположенном в фокальной плоскости собирающей линзы (рис. 8.30).
Положения максимумов и минимумов, характерных для одной щели, не зависят от положения щели относительно линзы (нужно только, чтобы свет от щели попадал на линзу). Поэтому может показаться, что при наличии N щелей мы получим на экране дифракционную картину как от одной щели (см. рис. 8.27), но усиленную в N раз. Однако это не так. Дело в том, что волны от всех щелей интерферируют друг с другом, поскольку они когерентны.
Найдём условие, при котором идущие от щелей волны усиливают друг друга. Рассмотрим вторичные волны, распространяющиеся в направлении, определяемом углом φ. Разность хода между волнами от краёв соседних щелей равна длине катета AC прямоугольного треугольника ABC (см. рис. 8.30). При этом AC = dsin φ. Для того чтобы в точке P наблюдался интерференционный максимум, разность хода должна быть равна целому числу длин волн:
dsin φ = ±kλ (1)
где k = 0, 1, 2, ... определяет порядок спектра.
Каждой точке в первой щели соответствует точка во второй щели, находящаяся на расстоянии d от этой точки. Это означает, что при выполнении условия (1) усиливают друг друга не только волны, идущие от нижних краёв щелей, но и волны, идущие от всех других точек щелей.
Углы φ, для которых выполнено условие (1), определяют положение главных максимумов дифракционной картины. Целое число k называют порядком главного максимума. Максимум нулевого порядка (центральный максимум) только один, а максимумов первого, второго и т. д. порядков бывает по два. Отметим, что дифракционная картина на экране симметрична относительно центрального максимума. Именно главные максимумы представляют особый практический интерес. Они получаются тем более узкими и резкими, чем больше штрихов N содержит дифракционная решётка.
А какой вид имеет дифракционная картина между главными максимумами? Первичные минимумы, характерные для одной щели, остаются на своих местах. Однако появляются и дополнительные минимумы, соответствующие таким углам φ, для которых колебания от отдельных щелей взаимно гасятся. Углы, определяющие направления на дополнительные минимумы, можно найти из условия
Теперь между двумя главными максимумами располагается N - 1 дополнительных минимумов. Это приводит к тому, что главные максимумы очень резко очерчены и интенсивность света в них велика. На рисунке 8.31 приведена примерная зависимость интенсивности света от угла дифракции. Пунктирная кривая показывает распределение интенсивности для одной щели. Вторичные максимумы между дополнительными минимумами слабы. Увеличение числа щелей не меняет положение главных максимумов, но делает их более интенсивными. Наиболее интенсивным остаётся центральный максимум (φ = 0).
C помощью дифракционной решётки можно производить очень точные измерения длины волны. Если период решётки известен, то определение длины волны сводится к измерению угла φ, соответствующего направлению на максимум. Так как положение максимумов (кроме центрального, соответствующего φ = 0) зависит от длины волны, то решётка разлагает белый свет в спектр (рис. 8.32, а). Чем больше λ, тем дальше располагается тот или иной максимум, соответствующий данной длине волны, от центрального максимума (рис. 8.32, б, в). Каждому значению k соответствует свой спектр. «Это свойство дифракционной решётки используется при исследованиях спектрального состава света.
Наши ресницы с промежутками между ними представляют собой грубую дифракционную решётку. Поэтому, если посмотреть, прищурившись, на яркий источник света, то можно обнаружить радужные цвета. Белый свет разлагается в спектр при дифракции на ресницах.
Лазерный CD-диск с его бороздками, проходящими близко друг к другу, подобен отражательной дифракционной решётке. Если вы посмотрите на отражённый им свет от электрической лампочки, то обнаружите разложение света в спектр (рис. 8.33). При этом можно наблюдать несколько спектров, соответствующих разным значениям k. Картина будет очень чёткой, если свет от лампочки падает на диск под большим углом.
Вопросы:
1. Что представляет собой дифракционная решётка?
2. Что называют периодом (постоянной) дифракционной решётки?
3. Каким условием определяются положения главных максимумов при дифракции света на решётке?
4. Охарактеризуйте зависимость интенсивности света от угла дифракции, используя рисунок 8.31.
Вопросы для обсуждения:
При дифракции происходит отклонение световых лучей от прямолинейного распространения в однородной среде. Не опровергает ли явления дифракции закон прямолинейного распространения света в однородной среде?
Пример решения задачи
При помощи дифракционной решётки с периодом 0,02 мм на экране, находящемся на расстоянии 1,8 м от неё, получена дифракционная картина. Её первый максимум находится на расстоянии 3,6 см от центрального. Найдите длину световой волны.
где k = 1 (для максимума первого порядка).
Из треугольника SOA (рис. 8.34) найдём:
Можно считать, что sin φ ≈ tg φ, так как в условиях данной задачи угол φ мал.
Подставив это выражение в условие главных максимумов, найдём длину волны:
C учётом числовых данных получим
Ответ: λ = 40 мкм.
Упражнения:
1. Допустим, у вас есть дифракционные решётки, имеющие 100 и 600 штрихов на 1 мм. Какая из них даст на экране более широкий спектр при прочих равных условиях?
2. Дифракционная решётка имеет 120 штрихов на 1 мм. Найдите длину волны света, падающего на решётку, если угол между двумя спектрами первого порядка равен 8°.
3. На дифракционную решётку, имеющую 500 штрихов на 1 мм, по нормали к ней падает плоская монохроматическая волна. Определите наибольший порядок спектра k, который можно наблюдать при помощи такой решётки, если длина волны равна 500 нм.
4. Расстояние между штрихами дифракционной решётки составляет 5 мкм. На решётку по нормали к ней падает плоская монохроматическая волна с длиной волны 560 нм. Максимум какого наибольшего порядка даёт эта решётка?
5. На дифракционную решётку нормально к её поверхности падает монохроматический свет. Период дифракционной решётки n = 3,5 раза больше длины световой волны. Найдите общее число дифракционных максимумов, которые теоретически возможно наблюдать в данном случае.
