10 класс
§ 5. Равномерное прямолинейное движение
Равномерное прямолинейное движение. Скорость.
Если нам известно, что автомобиль в данный момент времени находится в определённом месте на шоссе, то мы ещё ничего не знаем о том, как он движется. Важной физической величиной, характеризующей движение тела, является его скорость. Со скоростью вы знакомы из повседневной жизни. Скорость показывает, как быстро движется тело, т. е. как быстро с течением времени меняется его положение в пространстве по отношению к другим телам.
Самое простое движение — это равномерное движение тела по прямой. Для этого движения проще всего определить, что такое скорость.
Движение тела называют равномерным прямолинейным, если его траектория представляет собой прямую линию и тело за любые равные промежутки времени проходит равные расстояния.
При этом тело движется всё время в одном и том же направлении. Будем считать, что тело (автомобиль на шоссе) движется прямолинейно. Пусть в момент времени t1 тело имело координату x1, а в момент времени t2 его координата стала равной x2 (рис. 2.9). За интервал времени t2- t1 изменение координаты тела равно x2 - x1. Для интервала времени принято сокращённое обозначение Δt: Δt = t2 - t1, для изменения координаты Δх: Δx ≡ x2- x1.
При равномерном прямолинейном движении координаты движущегося тела изменяются одинаково за любые равные промежутки времени.
Скоростью равномерного прямолинейного движения называют отношение изменения координаты тела Δx к промежутку времени Δt, за который это изменение координаты произошло.
Обратим внимание, что здесь речь идёт о проекции скорости движения тела на координатную ось X. Если обозначить скорость через υx, то, согласно определению:
υx = Δх / Δt. (1)
В СИ единица скорости — метр в секунду (м/с).
Если скорость движения тела постоянна, то координата меняется со временем по простому закону. В § 4 "Перемещение. Радиус-вектор"мы рассмотрели векторный способ представления таких кинематических характеристик движения, как радиус-вектор, вектор перемещения. Прямолинейное движение тела также можно описывать с помощью векторов. Однако заметных преимуществ для данного вида движения это не даёт, поэтому в этом параграфе мы будем использовать координатный способ описания движения.
Рассмотрим движение тела, начиная с момента времени t0 = 0. Пусть в начальный момент времени координата тела равна x0 (рис. 2.10).
Тогда, обозначив координату в произвольный момент времени через х, согласно определению скорости (1), получим: υx = x - x0 / t.
Отсюда следует, что
x = x0 + υх / t. (2)
Выражение (2) называют кинематическим уравнением равномерного прямолинейного движения.
Видно, что зависимость координаты тела от времени является линейной функцией времени. Так как проекция скорости υх тела на координатную ось X может быть как больше, так и меньше нуля, то координата х или возрастает, или убывает. Итак, для определения координаты тела в произвольный момент времени необходимо знать начальную координату x0 и скорость υх.
Подчеркнём, что формула (2) непосредственно определяет координату движущегося тела, но не пройденный путь.
Длину отрезка траектории, пройденного телом за некоторый промежуток времени, называют путём, пройденным за этот промежуток времени.
При прямолинейном движении в одном направлении пройденный путь s (см. рис. 2.10) равен модулю изменения координаты:
s = |x - x0|.
Зная модуль скорости движения тела, можно найти пройденный им путь:
s = |υх|t = υt. (3)
Из выражения (3) следует, что модуль скорости υ равен
υ = |υх| = s / t. (4)
Отметим, что при криволинейном движении модуль перемещения не равен пути, пройденному телом с момента времени t1 до момента времени t2 (рис. 2.11), т. е. длина кривой A1A2 больше длины вектора перемещения.
Графическое представление равномерного прямолинейного движения.
При равномерном прямолинейном движении проекция скорости тела υх = const. Поэтому и её модуль υ = const (т. е. не изменяется с течением времени). Графиком зависимости модуля скорости υ от времени t является прямая АВ, параллельная оси времени и расположенная выше этой оси, так как υ > 0 (рис. 2.12, a).
Площадь прямоугольника OABC, заштрихованного на этом рисунке, численно равна пути s, пройденному телом за время t. Действительно, сторона OA в определённом масштабе — модуль скорости υ, а сторона ОС — время движения t, поэтому s = υt.
В отличие от модуля скорости, проекция скорости, определённая по формуле (1), может быть величиной как положительной, так и отрицательной. Поэтому графиком зависимости проекции скорости υх от времени t может быть либо прямая BC (рис. 2.12, б), либо прямая KF. Обе прямые параллельны оси времени. Прямая BC соответствует положительному значению скорости (υ1х > 0), а прямая KF — отрицательному значению (υ2х < 0). Площади прямоугольников OBCD и OEFK, заштрихованных на рисунке, численно равны соответствующим изменениям координат движущихся тел за время их движения.
При равномерном прямолинейном движении путь прямо пропорционален времени, так как модуль скорости υ = const: s = υt. Графиком, выражающим зависимость пути от врехмени, является прямая, выходящая из начала координат.
Рассмотрим основные свойства графика зависимости пути от времени.
1. Пройденный телом путь будет численно равен площади под графиком зависимости модуля скорости этого тела от времени.
2. График пути всегда направлен вверх (функция возрастает), так как путь не может быть отрицательным и не может уменьшаться в процессе движения.
3. Чем больше модуль скорости, тем больший угол образует график пути с осью времени.
На рисунке 2.13 представлены графики пути 1 и 2 для двух движущихся тел. Так как за 2 с первое тело прошло путь, равный 1 м, то модуль скорости первого тела υ1 = 0,5 м/с. Модуль скорости второго тела υ2 = 2 м/с, так как за 1 с тело прошло путь, равный 2 м.
Опишем график зависимости координаты от времени при равномерном прямолинейном движении. В этом случае координата является линейной функцией времени х = x0 + υхt. Поэтому график зависимости координаты от времени представляет собой прямую линию. Обсудим, какие сведения можно получить из графика, приведённого на рисунке 2.14.
В начальный момент времени (t0 = 0) тело имело координату x0 = 3 м, в момент времени tl = 6 с координата тела x1 = 0, т. е. оно находилось в начале координат, а в момент времени t2 = 9 с тело находилось в точке с координатой x2 = -1,5 м. Весь рассматриваемый промежуток времени тело двигалось противоположно положительному направлению оси X. Поэтому проекция скорости тела равна υх = x1 - x0 / tl - t0 = - 0,5 м/с, а модуль скорости υ = 0,5 м/с.
Обратите внимание на то, что по графику зависимости x(t) можно находить положения тела до начала отсчёта времени при условии, что и до этого момента оно двигалось равномерно и прямолинейно с той же скоростью. Моменты времени до начала отсчёта считают отрицательными. Согласно рисунку 2.14, за 3 с до начала отсчёта времени координата тела была равна 4,5 м.
Таким образом, все графики равномерного прямолинейного движения представляют собой прямые линии. Для их построения достаточно указать значения х или s для двух моментов времени.
Вопросы:
1. Какое движение тела называют равномерным прямолинейным?
2. Как можно определить скорость равномерного прямолинейного движения?
3. Что представляет собой кинематическое уравнение равномерного прямолинейного движения?
4. Почему путь не может быть отрицательной величиной?
5. Какую информацию можно получить, анализируя графики равномерного прямолинейного движения?
Вопросы для обсуждения:
1. Запишите выражения для определения изменения координат тел, используя рисунок 2.12, б. Почему площади прямоугольника OBCD приписывается знак « + », а площади прямоугольника OKEF — знак « - »?
2. Опишите характер движения пешехода, используя рисунок 2.15.
3. Какой физический смысл имеет угол наклона графика зависимости координаты от времени к оси времени при равномерном прямолинейном движении?
Пример решения задачи
По графикам зависимости координат тел 1 и 2 от времени (рис. 2.16) для каждого тела определите проекцию скорости на ось X. Запишите кинематические уравнения движения этих тел. Для каждого из них постройте графики зависимости проекции скорости от времени.
Решение:
Начальная координата обоих тел x0 = 0, поэтому кинематическое уравнение движения для каждого тела можно записать в виде:
x1(t) = 0 + υ1xt; x2(t) = 0 + υ2xt.
Проекцию скорости движения можно найти по графику как отношение изменения координаты к промежутку времени, за который это изменение произошло:
Тогда x1(t) = 20t (м); x2(t) = 10t (м).
Учитывая полученные данные, построим графики зависимости υх(t) для каждого тела (рис. 2.17).
Ответ: υ1x = 20 м/с, υ2x = 10 м/с, x1(t) = 20t (м), x2(t) = 10t (м).
Упражнения
1. Проекции вектора 
на оси X и Y равны: rx = -2 см, ry = 0. Найдите модуль и направление вектора .
2. От станции А по направлению к станции В отправился товарный поезд со скоростью 30 км/ч. Через 0,5 ч от станции в том же направлении вышел пассажирский поезд. C какой по модулю скоростью должен двигаться пассажирский поезд, чтобы догнать товарный поезд на станции В? Расстояние между станциями составляет 45 км.
3. Навстречу друг другу движутся пассажирский поезд со скоростью 90 км/ч и скорый поезд со скоростью 120 км/ч. Расстояние между поездами равно 70 км. На каком расстоянии от скорого поезда должен находиться разъезд, чтобы поезда разошлись без остановки?
4. Два мотоцикла движутся прямолинейно и равномерно. Скорость движения первого мотоцикла по модулю больше скорости движения второго мотоцикла. Постройте для данных тел графики зависимости:
а) пути от времени;
б) модуля скорости от времени.
5. Движение тела задано кинематическим уравнением: x(t) = 100 - 5t (м).
Определите:
а) начальную координату тела;
б) проекцию и модуль скорости его движения;
в) координату тела через 15 с;
г) модуль его перемещения за 15 с.
