10 класс
§ 6. Движение тела на плоскости. Средняя скорость. Мгновенная скорость
Определение положения тела на плоскости.
До сих пор мы изучали движение вдоль прямой линии. Автомобиль на прямолинейном участке шоссе или поезд на прямолинейном участке железной дороги иначе и не могут двигаться. На реке нет ни дорог, ни рельсов, и лодка может плыть под любым углом к берегу. Правда, ограничение движения здесь всё же есть. Лодка перемещается в одной определённой плоскости, а именно вдоль поверхности воды. Самолёт же может лететь в горизонтальной плоскости, вниз или вверх. Как же рассматривать движение в более сложных случаях?
Для описания движения на плоскости воспользуемся понятием вектора перемещения. Положение тела на плоскости можно задать радиусом-вектором. Следовательно, для описания движения нужно уметь определять радиус-вектор тела в любой момент времени.
Из рисунка 2.18 видно, что если известны радиус-вектор 
1 в какой-то момент времени и перемещение Δ тела, то можно найти радиус-вектор 2 в любой последующий момент времени: 2 = 1 + Δ.
Обычно радиус-вектор в начальный момент времени t0 обозначают через 0, а в любой другой момент времени t — через . Поэтому
= + (1)
Уравнение (1) справедливо для любого движения — прямолинейного и криволинейного, равномерного и неравномерного. Для того чтобы найти положение тела в любой момент времени, т. е. найти радиус-вектор, нужно знать начальное положение тела, определяемое радиусом-вектором 0, и уметь вычислять перемещение Δ.
Для случая движения на плоскости векторному уравнению (1) соответствуют два уравнения в координатной форме. Для их записи будем использовать проекции векторов на оси координат. Зная, что проекциями радиусов-векторов являются координаты концов этих векторов и что проекции перемещения равны изменениям координат, получим:
x = x0 + Δx, y = y0 + Δy
Итак, чтобы найти положение тела на плоскости в любой момент времени (координаты х, y), нужно знать его начальное положение (координаты x0, y0) и уметь вычислять изменения координат Δx, Δy при его движении 1.
1 Для описания движения тела в пространстве необходимо также знать координату z0 и уметь вычислять изменения координаты Δz при его движении.
Скорость движения тела при произвольном движении.
Ни одно тело не движется всё время с постоянной скоростью. Трогаясь с места, автомобиль начинает двигаться всё быстрее. Некоторое время он может двигаться равномерно, но рано или поздно замедляет движение и останавливается. При этом автомобиль проходит различные расстояния за одинаковые интервалы времени.
Подобно перемещению, скорость является векторной величиной. Она характеризует не только быстроту движения тела, но и направление его движения.
Под направлением движения тела в некоторый момент времени принято понимать направление его скорости в этот момент. Скорость можно изобразить направленным отрезком (вектором), длина которого в определённом масштабе характеризует модуль скорости (рис. 2.19).
Средняя скорость.
В некоторых случаях для характеристики неравномерного движения используют понятие средней скорости.
Вектор средней (по времени) скорости равен отношению вектора перемещения Δ к интервалу времени Δt, за который это перемещение произошло.
υср = Δ / Δt.
Направление вектора средней скорости 
совпадает с направлением вектора перемещения Δ (рис. 2.20).
Мгновенная скорость.
При посадке на Луну космического аппарата или при стыковке космических кораблей необходимо знать не среднюю скорость, а скорость в каждый момент времени, в каждой точке сложной криволинейной траектории — мгновенную скорость. Для того чтобы ввести понятие мгновенной скорости произвольного криволинейного движения, воспользуемся понятием средней скорости. Пусть тело движется по криволинейной траектории и в момент времени t находится в точке А (рис. 2.21).
При уменьшении интервала времени Δt перемещения Δ1, Δ2, Δ3,... тела уменьшаются по модулю и меняются по направлению. Соответственно средние скорости 
... изменяются по модулю и направлению. Но по мере приближения интервала Δt к нулю отношение Δ / t приближается к определённому предельному значению. Это предельное значение и называют мгновенной скоростью.
Мгновенной скоростью тела в данный момент времени t называют физическую величину, равную отношению перемещения Δ тела за достаточно малый промежуток времени Δt 1 к длительности этого промежутка.
1 Под выражением «малый промежуток времени» понимают такой промежуток, в пределах которого движение тела практически неотличимо от равномерного прямолинейного движения.
На приборной панели любого автомобиля находится спидометр (рис. 2.22), который предназначен для определения модуля мгновенной скорости движения.
Мгновенная скорость 
тела направлена по касательной к траектории в той её точке, где находится тело. Действительно, при уменьшении интервала Δt вектор Δ уменьшается по модулю и его направление приближается к направлению касательной к траектории, проведённой в точке
А (см. рис. 2.21). В этом нетрудно убедиться на простых примерах (рис. 2.23).
Средняя путевая скорость
Часто при составлении расписания движения автобусов, поездов и других транспортных средств нужно уметь оценивать время, необходимое для прохождения определённого пути. Или, наоборот, нужно знать приблизительно путь, проходимый за какое-либо определённое время. Однако заранее знать скорость, например, автобуса в каждой точке практически невозможно. Дорожные условия, светофоры, интенсивность движения на дороге и другие факторы влияют на мгновенную скорость движения. Не поможет в данном случае и знание средней скорости. Например, автомобиль в конце рабочего дня возвращается в гараж. Модуль его перемещения за день равен нулю и также равен нулю модуль средней скорости υcp = 0. Между тем автомобиль прошёл большой путь, измеряемый счётчиком, находящимся в самом автомобиле. Следовательно, определить пройденный путь с похмощью средней скорости невозможно.
Поэтому целесообразно ввести ещё одну величину — среднюю путевую скорость.
Средняя путевая скорость равна отношению пути s (т. е. длине траектории) к промежутку времени t, за который этот путь пройден.
υcp.п = s / t.
Средняя путевая скорость — это скалярная величина. Когда говорят о скорости движения поездов, судов, пешеходов и т. п., то имеют в виду именно среднюю путевую скорость. К примеру, расстояние от Москвы до Тулы, равное примерно 180 км, поезд проходит за 3 ч. Значение средней путевой скорости равно 60 км/ч. Очевидно, что поезд не всегда имел именно такую скорость. При отправлении от станций скорость поезда увеличивалась, а при торможении уменьшалась и равнялась нулю во время стоянок. На некоторых участках пути её значение было и более 60 км/ч. Но если бы поезд двигался с постоянной скоростью 60 км/ч, то путь от Москвы до Тулы он прошёл бы за 3 ч, как и при неравномерном движении.
Вопросы:
1. Как можно определить положение тела на плоскости в любой момент времени?
2. Сформулируйте определения:
а) мгновенной скорости;
б) средней скорости;
в) средней путевой скорости.
Какие из этих физических величин скалярные, а какие - векторные?
3. Как направлена мгновенная скорость при криволинейном движении?
4. В чём состоит различие в описании движения тела на плоскости и его движения по прямой линии?
Вопросы для обсуждения:
1. Каким образом составляется расписание движения автобусов, поездов и других транспортных средств?
2. Обсудите различия средней скорости и средней путевой скорости на конкретных примерах.
Пример решения задачи
На рисунке 2.24 изображён график зависимости координаты х тела, движущегося вдоль оси X, от времени t.
Определите:
а) модуль перемещения тела за 4 с;
б) путь, пройденный телом за 4 с;
в) среднюю путевую скорость в интервале времени от 0 до 4 с;
г) модуль вектора
Решение:
а) Определим модуль перемещения Δr тела, используя рисунок 2.24: Δr = 40 м.
б) Путь s находится суммированием длин отрезков траектории, пройденных телом:
s = 60 + |40 - 60] = 80 м.
в) По определению 
20 м/с.
г) 
д) 
Ответ: 
Упражнения:
1. На рисунке 2.25 представлен график движения тела.
Определите:
а) значение проекции скорости на каждом участке;
б) модуль перемещения тела;
в) путь, пройденный телом;
г) значение средней скорости тела на всём пути;
д) модуль средней скорости перемещения за 15 с;
е) модуль средней скорости перемещения за 12 с;
ж) значение средней скорости за 3 с.
Постройте график зависимости проекции скорости υx от времени t.
2. Первую половину пути автомобиль прошёл со скоростью 60 км/ч, а оставшийся путь — со скоростью 25 м/с. Определите среднюю скорость автомобиля на всём пути.
3. Половину времени движения автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, а оставшееся время — со скоростью 25 м/с. Чему равна средняя скорость автомобиля на всём пути?
4. Первую четверть пути поезд прошёл со скоростью 60 км/ч. Средняя скорость на всём пути оказалась равной 40 км/ч. C какой скоростью поезд двигался на оставшейся части пути?
5. Пешеход часть пути прошёл со скоростью 5 км/ч, затратив на это две трети времени своего движения. За оставшееся время он прошёл остальной путь со скоростью, равной 8 км/ч. Определите среднюю скорость пешехода на всём пути.
