10 класс
§ 7. Ускорение. Равноускоренное прямолинейное движение
Среднее ускорение.
Введём ещё одну физическую величину, описывающую механическое движение, — ускорение. Оно характеризует быстроту изменения скорости движения тела. Ускорение является важнейшей физической величиной, так как действия одних тел на другие определяют не скорости тел, а быстроту изменения скоростей.
Пусть тело движется по криволинейной траектории (рис. 2.26, а). За промежуток времени Δt = t2 - t1 оно перейдёт из положения A1 в положение A2. При этом его скорость изменится. Обозначим начальную и конечную скорости движения тела через υ1 и υ2. Изменение скорости за время Δt равно Δ
= 2 - 1. На рисунке 2.26, б проведено геометрическое вычитание векторов скоростей и построен вектор Δ.
Среднее ускорение 
cp за промежуток времени Δt равно:
Средним ускорением называют физическую величину, равную отношению изменения скорости тела Δυ к интервалу времени Δt, в течение которого это изменение скорости произошло.
Направление вектора cp совпадает с направлением вектора Δ.
Если ускорение постоянно, то его можно вычислять как изменение скорости в единицу времени. Это позволяет установить единицу ускорения в СИ — метр на секунду в квадрате (м/с2).
Мгновенное ускорение.
На практике нужно уметь определять ускорение в каждой точке траектории. Это ускорение называют мгновенным. На разных участках траектории за одинаковые промежутки времени Δt изменение скорости Δ может быть различным как по модулю, так и по направлению. При уменьшении интервала времени Δt изменения скорости Δ уменьшаются по модулю и меняются по направлению (рис. 2.27).
Соответственно, средние ускорения также меняются по модулю и по направлению. Но по мере приближения интервала Δt к нулю отношение Δ / Δt стремится к определённому предельному значению. Это предельное значение и есть мгновенное ускорение, или просто ускорение.
В то время как мгновенная скорость тела направлена по касательной к траектории, направление ускорения совпадает с направлением изменения скорости Δ за малый промежуток времени. Изменение же скорости только при прямолинейном движении совпадает с направлением самой скорости или противоположно ему. Поэтому ускорение может быть направлено под различными углами по отношению к траектории.
Равноускоренное прямолинейное движение.
Пусть за каждую секунду скорость тела возрастает на 1 м/с, а направление вектора изменения скорости остаётся постоянным. В этом случае среднее ускорение тела будет равно 1 м/с2. Можно ли считать, что мгновенное ускорение при таком движении постоянно и также равно 1 м/с2? Для ответа на этот вопрос следует проверить, остаётся ли среднее ускорение неизменным по направлению и равным по модулю 1 м/с2, если определять его за промежутки времени Δt = 0,1 с, 0,01 с и т. д. Только в том случае, если за любые равные промежутки времени изменение скорости одинаково, можно говорить, что мгновенное ускорение постоянно. Такое движение называют равноускоренным.
Движение тела называют равноускоренным, если его ускорение остаётся постоянным, т. е. не изменяется с течением времени (как по модулю, так и по направлению).
Равноускоренное движение может быть как прямолинейным, так и криволинейным. Далее мы рассмотрим равноускоренное прямолинейное движение.
Пусть в начальный момент времени t0 = 0 скорость движения тела равна 0. Тогда, обозначив скорость в произвольный момент времени через , получим в соответствии с формулой:
= 0 - / t.Отсюда
= + t. (1)Для равноускоренного движения в одной плоскости уравнению (1) будут соответствовать две формулы для проекций вектора скорости на оси X и Y:
Графическое представление равноускоренного прямолинейного движения.
Если тело движется равноускоренно, то графиками модуля и проекции ускорения будут прямые, параллельные оси времени. Важно понимать, что модуль — неотрицательная величина, поэтому график модуля ускорения не может быть расположен ниже оси времени (рис. 2.28).
В то же время проекции ускорения могут иметь как положительные (рис. 2.29, а), так и отрицательные значения (рис. 2.29, б).
Из рисунка 2.29, б следует, что ускорение направлено противоположно оси X. По графику проекции ускорения можно найти, кроме αх, изменение проекции скорости Δυx. Оно численно равно площади прямоугольника OABC или OKMN, так как Δυx = αхt, а произведение axt численно равно площади прямоугольника OABC или OKMN.
Значение площади берётся со знаком «минус», если она расположена ниже оси времени, что соответствует рисунку 2.29, б, где Δυx = αхt < 0.
На рисунке 2.30 изображены графики 1 и 2 проекций скорости двух тел при равноускоренном прямолинейном движении.
Оба тела имеют начальную скорость, равную нулю. Первое тело движется в положительном направлении оси X и так как Δυx > 0, то α1х > 0. Второе тело движется противоположно оси X и так как Δυx < 0, поэтому α2х < 0.
На рисунке 2.31 также изображены графики 1 и 2 проекций скорости двух тел.
Оба тела имеют одно и то же значение проекции начальной скорости, соответствующее отрезку OA. Согласно графику 1 тело движется в положительном направлении оси X, причём модуль и проекция скорости равномерно возрастают. Согласно графику 2, тело в течение некоторого промежутка времени (отрезок OB) движется в положительном направлении оси X (υx > 0) с равномерно уменьшающимся до нуля (остановка) значением проекции скорости. После этого проекция скорости становится отрицательной. Это означает, что тело стало двигаться в направлении, противоположном положительному направлению оси X. Проекция ускорения тела отрицательна. Так как проекция скорости точки равномерно убывает, то проекция ускорения остаётся постоянной. Следовательно, тело движется равноускоренно.
Координата и радиус-вектор при равноускоренном движении
Запишем уравнение для одной из координат движущегося тела:
х = x0 + Δx.
В случае равноускоренного движения изменение координаты можно определить с помощью графика зависимости проекции скорости от времени. Ранее мы показали, что изменение координаты Δx при равномерном прямолинейном движении можно найти по площади прямоугольника под графиком проекции скорости:
Δx = υxt.
Задача упрощалась тем, что υx = const.
При движении с постоянным ускорением проекция скорости тела изменяется в зависимости от времени по линейному закону. В курсе физики 9 класса было получено выражение для изменения координаты тела:
Подставляя значения изменения координат в кинематические уравнения: х = x0 + Δx, y = y0 + Δy, получим выражения для координат при движении тела с постоянным ускорением как функции времени:
(2)Формулы (2) применимы для описания как прямолинейного движения (в этом случае целесообразно ось X направить по прямой, вдоль которой движется тело), так и криволинейного движения. Важно лишь, чтобы оно было равноускоренным.
Двум уравнениям (2) соответствует одно векторное уравнение:
(3)Отметим, что при помощи уравнений (2) или (3) можно найти только положение движущегося тела в любой момент времени, но не пройденный путь. При равноускоренном прямолинейном движении возможно изменение направления скорости на противоположное (например, при движении брошенного вверх тела). В таком случае нужно определить, в какой точке траектории произошло изменение направления скорости. Путь находится в результате суммирования длин отрезков траектории, пройденных телом за указанное время.
Вопросы:
1. Как можно определить среднее ускорение?
2. Какое движение тела называют равноускоренным прямолинейным?
3. Запишите выражение для скорости движения тела при равноускоренном прямолинейном движении.
4. Как можно определить координаты тела, совершающего равноускоренное движение?
5. Какую информацию можно получить, анализируя графики равноускоренного прямолинейного движения?
Вопросы для обсуждения:
1. Используя рисунок 2.32, докажите, что . При доказательстве воспользуйтесь методом разбиения площади трапеции на можество прямоугольников.
2. На рисунке 2.33 приведены графики зависимости проекции скорости υx от времени t для тел 1 и 2. Как изменяются модули скоростей тел? Чему соответствуют отрезки ОС и OD?
3. В трактате «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки» (1638) Галилей приводит определения двух видов движения тел:
а) «...движением я называю такое, при котором расстояния, проходимые движущимся телом в любые равные промежутки времени, равны между собою»;
б) «...движением называется такое, при котором после выхода из состояния покоя в равные промежутки времени прибавляются и равные приращения скорости».
О каких видах движения идёт речь в первом и во втором случаях?
Пример решения задачи
Ружейная пуля движется равноускоренно внутри ствола длиной 0,6 м в течение 0,004 с. Найдите модуль скорости пули при вылете из ствола ружья и модуль ускорения её движения внутри ствола. Модуль начальной скорости движения пули считайте равным нулю.
Запишем кинематическое уравнение для пули: x(t) = αt2 / 2 (так как υ0 = 0 по условию задачи).
В момент вылета пули из ствола ружья (рис. 2.34) t = τ x(τ) = l. C учётом этого получим:
Подставим числовые данные:
α = 2 • 0,6 / 0,004 2 м/с2 = 75000 м/с2 = 75 км/с2
Найдём модуль скорости вылета υп пули:
υп = ατ; υп = 75000 • 0,004 м/с = 300 м/с.
Ответ: υп = 300 м/с, α = 75 км/с2
Упражнения:
1. Какой должна быть длина взлётной полосы, если самолёт для взлёта должен приобрести скорость, равную 240 км/ч, за 30 с?
2. Автомобиль, двигаясь равноускоренно и прямолинейно, через 10 с после начала движения достиг скорости, модуль которой равен 36 км/ч. Определите модуль ускорения, с которым двигался автомобиль.
Какой путь он прошёл:
а) за 10 с;
б) за последнюю секунду движения?
3. Склон горы длиной 100 м лыжник прошёл за 20 с, двигаясь с ускорением, равным 0,3 м/с2. Определите модуль скорости лыжника в начале и в конце склона.
4. Космическая ракета разгоняется из состояния покоя и, пройдя путь 200 км, достигает скорости, модуль которой равен 11 км/с. C каким по модулю ускорением она двигалась? Чему равно время разгона ракеты?
5. Покажите, что при равноускоренном движении по заданным значениям υ0x, υx и αx можно определить проекцию перемещения sx по 
6. Какой путь пройдёт моторная лодка, если она движется прямолинейно 5 с с постоянной скоростью 1 м/с, а затем 5 с — равноускоренно с ускорением, равным 1 м/с2? Определите среднюю путевую скорость лодки за 10 с. Постройте график зависимости скорости и ускорения моторной лодки от времени.
