10 класс
§ 8. Свободное падение тел
Опыты галилея.
Наиболее распространённый вид равноускоренного движения — свободное падение тел 1. При падении любого тела на Землю из состояния покоя его скорость увеличивается. Ускорение, сообщаемое телам земным шаром, направлено вертикально вниз к центру Земли.
1 При изучении динамики вы узнаете, что свободное падение — это движение тела под действием только силы тяжести.
Галилей установил, что свободное падение является равноускоренным движением. Падение тел происходит очень быстро, поэтому для исследования движения необходимо измерять очень малые промежутки времени. Во времена Галилея это делать не умели. Однако гениальный учёный догадался, что можно как бы замедлить свободное падение, изучая скатывание шаров по наклонному жёлобу» При этом он получил формулу для вычисления пути s = αt2/ 2 при движении тела с ускорением.
Галилей обнаружил, что шары одинакового диаметра, изготовленные из дерева, золота, слоновой кости, движутся по жёлобу с одинаковым ускорением α = 2s/ t2. Отсюда следует, что ускорения не зависят от массы шаров! Учёный также обнаружил, что с увеличением наклона жёлоба модуль ускорения увеличивается, но остаётся одинаковым для тел различных масс. Свободному падению соответствует движение по вертикально расположенному жёлобу. Следовательно, тела независимо от их массы должны падать с одинаковым ускорением. При этом считают, что влиянием воздуха на движение тел можно пренебречь.
Согласно легенде для проверки своего предположения (гипотезы) Галилей наблюдал падение различных тел (пушечного ядра, мушкетной пули и др.) с Пизанской башни (рис. 2.35). Все эти тела достигали поверхности Земли практически одновременно. Тем самым Галилей доказал, что земной шар сообщает всем телам вблизи поверхности Земли одно и то же ускорение. Впоследствии были сконструированы вакуумные насосы, позволившие создать условия для действительно свободного падения тел.
собенно убедителен опыт с так называемой трубкой Ньютона. В стеклянную трубку помещают различные предметы: дробинку, кусочек пробки, пушинку. Если трубку перевернуть так, чтобы эти предметы могли падать, то быстрее всего промелькнёт дробинка, за ней кусочек пробки и, наконец, плавно опустится пушинка (рис. 2.36, а). Но если с помощью насоса откачать воздух из трубки, то всё произойдёт совершенно иначе: пушинка будет падать, не отставая от дробинки и пробки (рис. 2.36, б)! Это означает, что её движение задерживалось сопротивлением воздуха, которое в меньшей степени сказывалось на движении, например, пробки. Когда же на эти тела действует только притяжение к Земле, то все они падают с одним и тем же ускорением. Не только этот эксперимент, но и более точные опыты, проведённые с помощью современной экспериментальной техники, приводят к таким же результатам.
Итак, земной шар сообщает всем без исключения телам одно и то же ускорение. Если сопротивление воздуха отсутствует, то вблизи поверхности Земли ускорение падающего тела постоянно.
Ускорение, сообщаемое всем телам земным шаром, называют ускорением свободного падения.
Его модуль обозначают буквой g. Свободное падение не обязательно представляет собой движение вниз. Если начальная скорость направлена вверх, то тело при свободном падении некоторое время будет лететь вверх, уменьшая свою скорость, и лишь затехМ начнёт падать вниз. Ускорение свободного падения несколько изменяется в зависимости от географической широты места падения тела на поверхность Земли 2. Но в одном и том же месте оно одинаково для всех тел.
2 При решении многих задач можно считать ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли равным 9.8 м/с 2 или даже 10 м/с 2.
Свободное падение тел без начальной скорости.
Свободное падение тел совершается с постоянным ускорением, поэтому при решении задач необходимо правильно записать соответствующие кинематические уравнения.
Рассмотрим следующие примеры.
1. Пусть тело свободно падает с высоты h без начальной скорости (υ0 = 0) (рис. 2.37).
Тогда y0 = h, υ0y = 0, υy = - υ, αy = - g и формула для проекции вектора скорости υy = υ0y + αyt примет вид:
υ = gt (1)
Запишем для этого случая кинематическое уравнение для координаты тела:
y = h - gt 2 / 2
В момент падения тела на поверхность Земли y = 0 и поэтому высота падения h связана со временем падения t формулой:
h = gt 2 / 2 (2)
Из формул (1) и (2) следует, что скорость тела в момент падения можно найти с помощью выражения:
2. Пусть тело свободно падает с некоторой высоты без начальной скорости (υ0 = 0). Выберем начало координат в точке, откуда началось движение. Если ось Y направить вертикально вниз (рис. 2.38, а), то координаты тела при движении будут положительными: y > 0. При этом υy > 0 и gy > 0, так как они имеют такое же направление, что и ось Y.
Графиком зависимости координаты у движущегося тела от времени t является парабола OA (рис. 2.39, а) с вершиной в точке О. Если же ось Y направить вертикально вверх (рис. 2.38, б), то gy < 0, υy < 0 и координата тела: y < 0. В этом случае графикохм будет парабола OB с вершиной в точке О (см. рис. 2.39, а).
В обоих случаях y = gyt 2 / 2, υy = gyt. Графики проекции скорости для обоих случаев показаны на рисунке 2.39, б.
Вопросы:
1. Какое движение тела называют свободным падением?
2. Каким образом Галилей смог экспериментально подтвердить гипотезу при исследовании свободного падения?
3. Какой вывод можно сделать на основе результатов опытов с трубкой Ньютона?
4. Что называют ускорением свободного падения? Куда оно направлено?
5. Как изменяется скорость свободно падающего тела от времени?
Вопросы для обсуждения:
1. Два камешка один за другим выпущены из рук из одной и той же точки пространства без начальной скорости. Будет ли изменяться расстояние между ними при падении?
2. Проанализируйте высказывания Аристотеля о падении тел.
а) «Падение куска золота или свинца, или любого другого тела, наделённого весом, происходит тем быстрее, чем больше его вес»,
б) «Камень под действием собственного веса падает с определённой скоростью.
Если положить на него ещё один такой же камень, то лежащий сверху будет подталкивать нижний, в результате чего скорость последнего возрастает».
Прав ли учёный?
Пример решения задачи
Тело свободно падает с высоты 127 м без начальной скорости. Определите, за какое время оно проходит последний метр своего пути. Какой путь проходит тело за последнюю секунду падения? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Запишем кинематическое уравнение для момента времени, когда тело находится на расстоянии Δh от земли: 
и найдём время, за которое тело пролетит расстояние (h - Δh):
Тогда t1 = t пад - t2; t 1 = 5,09 с - 5,07 с = 0,02 с.
Выразим путь s как разность путей, пройденных за всё время падения t пад и за время (t пад - Δt пад):
Ответ: t1 = 0,02 с, s = 45 м.
Упражнения:
1. Тело свободно падает с высоты 80 м без начальной скорости. Какой путь проходит тело в последнюю секунду падения? Сопротивлением воздуха пренебречь.
2. Мяч брошен с поверхности Земли вертикально вверх с начальной скоростью, модуль которой равен 15 м/с. Сколько времени он будет подниматься и какой будет максимальной высота подъёма? Сопротивлением воздуха пренебречь.
3. Шарик бросили вертикально вверх со скоростью, модуль которой равен 5 м/с. Определите модуль скорости, который он приобретёт за 3 с движения. Чему при этом будет равен модуль перемещения шарика и пройденный им путь? Сопротивлением воздуха пренебречь.
4. Согласно легенде Галилей, проводя эксперименты по исследованию свободного падения тел, бросал шары (без начальной скорости) разной массы с верхней площадки Пизанской башни. Сколько времени падали шары и с какой по модулю скоростью они ударялись о поверхность Земли, если высота башни примерно равна 56 м? Сопротивлением воздуха пренебречь.
5. Согласно легенде при проведении опытов по исследованию свободного падения тел ученик Галилея Пико Делла Мирандола, обладавший феноменальной силой, забрасывал шары массой до 1 кг на верх башни (высотой примерно 56 м), чтобы его учителю не приходилось спускаться и подниматься по её 294 ступеням. Оцените модуль наименьшей скорости, которую Мирандола должен был сообщать шарам. Сопротивлением воздуха пренебречь.
