Меню сайта

10 класс

§ 9. Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Траектория тела, брошенного под углом к горизонту.

Рассмотрим движение тела, брошенного под углом к горизонту. Такое движение совершают, например, футбольный мяч, артиллерийский снаряд, выпущенный из пушки, стоящей на горизонтальной поверхности, и другие тела (рис. 2.41, а, б).

Если сопротивление воздуха не учитывать, то эти движения представляют собой свободное падение. Изучением движения тела, брошенного под углом к горизонту, занимается наука — баллистика.

Пусть тело (будем считать его точкой) в начальный момент времени находилось на высоте h и имело скорость ₀, направленную под углом α к горизонту (рис. 2.42).

Ось Y направим вертикально вверх, а ось X — горизонтально так, чтобы векторы начальной скорости ₀ и ускорения свободного падения лежали в плоскости XOY. Так как тело движется равноускоренно, то для описания его движения можно воспользоваться уравнениями (1) и (2) из § 7 "Ускорение. Равноускоренное прямолинейное движение".

Запишем начальные условия движения тела в соответствии с выбранной системой координат: при t = 0, x₀ = 0, y₀ = h, υ_0x = υ₀cos α, υ_0y = υ₀sin α. Кроме того, α_x = 0, α_y = - g. C учётом этого, формулы проекций скорости и уравнения координат тела примут вид:

Найдём уравнение траектории тела. Для этого из первого уравнения (2) выразим время t.

Подставляя это выражение во второе уравнение (2), получим:

Из курса математики вам известно, что графиком функции y = αх² + bх + с является парабола. В нашем случае коэффициенты

Таким образом, траекторией тела, брошенного под углом к горизонту, является парабола, проходящая через точку, из которой брошено тело. Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при x² отрицателен. Очевидно, что вершина параболы находится в наивысшей точке подъёма тела (точка В на рис. 2.42).

Время подъёма и время полёта тела.

Время подъёма тела нетрудно определить с помощью второго уравнения (1). B наивысшей точке подъёма вектор скорости параллелен оси X и перпендикулярен оси Y. Пусть t_под — время подъёма тела. Следовательно, проекция скорости на ось Y равна нулю: υ_y = 0. Отсюда

Время полёта t_под тела от точки бросания до точки падения определяется уравнением (2) для координаты у тела. В конце полёта в момент t = t_пол, координата y = 0. Тогда

Если h = 0, т. е. тело брошено с поверхности Земли (рис. 2.43), то

Время падения t_под тела по нисходящей части траектории равно:

t_под = t_пол - t_под

C учётом формул (3) и (5) можно записать:

Сравнивая формулы (3), (5) и (6), приходим к выводу, что время подъёма и время падения тела при h = 0 равны между собой и в 2 раза меньше времени полёта.

Дальность полёта тела.

Найдём горизонтальную дальность полёта, т. е. длину отрезка OA (см. рис. 2.42). Для этого в уравнение (2) для координаты х тела нужно подставить время полёта (4) или (5). Если h = 0 (рис. 2.43), то дальность полёта равна:

Очевидно, что при данном модуле υ₀ начальной скорости бросания тела дальность полёта будет наибольшей, когда sin 2α = 1, т. е. при a = 45°.

Однако при движении тела в воздухе наибольшая дальность полёта достигается при несколько меньшем угле. При полёте снаряда или пули в воздухе силы сопротивления значительно уменьшают дальность полёта, и наибольшая дальность полёта достигается не при угле 45°. Её значения лежат в пределе 28 - 43° и зависят от веса и формы снаряда. Например, для пули калибра 7,62 мм наибольшая дальность полёта будет при угле выстрела, равном 35°.

Максимальная высота подъёма тела.

Максимальную высоту подъёма тела y_max можно определить из второго уравнения (2), подставив в него выражение для времени подъёма (3):

Если бросание происходит с поверхности Земли (h = 0), то

Итак, максимальная высота подъёма тела пропорциональна квадрату начальной скорости и возрастает с увеличением угла бросания.

Движение тела, брошенного горизонтально.

Если угол α = 0°, то начальная скорость движения тела направлена горизонтально вдоль оси X. Это случай движения тела, брошенного горизонтально (рис. 2.44, а). Для его описания можно использовать уравнения (1) и (2).

Траекторией движения тела является парабола с вершиной в точке бросания. Но для рассматриваемой задачи время полёта тела получается таким же, как и при свободном падении тела с той же высоты при υ₀ = 0. Действительно, из уравнения (4) для α = 0° следует:

Этот результат совпадает с выражением для времени, полученным из формулы: (см. §8 "Свободное падение тел").

Наглядное представление о траектории тела (например, стального шарика), брошенного горизонтально, можно получить, если сфотографировать шарик, освещая его во время падения кратковременными вспышками света, следующими друг за другом через одинаковые интервалы. Полученная таким образом картина движения шарика приведена на рисунке 2.44, б. Слева для сравнения показаны положения шарика, начавшего свободно падать вниз без начальной скорости в тот момент, когда началось движение шарика, брошенного горизонтально. Обратите внимание на то, что оба шарика в любой момент времени находятся на одной высоте. Это означает, что их координаты y меняются со временем совершенно одинаково, а на изменение координаты y не оказывает никакого влияния смещение шарика в горизонтальном направлении вдоль оси X.

Вопросы:

1. Приведите примеры движения тела, брошенного под углом к горизонту.

2. Что представляет собой траектория тела, брошенного под углом к горизонту?

3. Запишите выражения для определения:

а) времени полёта;

б) дальности полёта;

в) максимальной высоты подъёма тела, брошенного под углом к горизонту.

4. Какие выводы можно сделать на основе анализа рисунка 2.44, б?

Пример решения задачи

Под каким углом к горизонту необходимо бросить тело, чтобы его максимальная высота подъёма была в 2 раза больше максимальной дальности полёта (рис. 2.45)? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Упражнения:

1. C какой высоты был брошен в горизонтальном направлении мяч со скоростью, модуль которой равен 10 м/с, если он упал на расстоянии 4,9 м от места броска? Сопротивлением воздуха пренебречь.

2. Камень брошен с горы в горизонтальном направлении со скоростью, модуль которой равен 15 м/с. Через какое время его скорость будет направлена под углом 45° к горизонту? Сопротивлением воздуха пренебречь.

3. Мяч брошен под углом 30° к горизонту с начальной скоростью, модуль которой равен 10 м/с.

Определите:

а) проекции υ_0x и υ_0y начальной скорости;

б) высоту подъёма;

в) время полёта;

г) дальность полёта мяча. Сопротивлением воздуха пренебречь.

4. Двое ребят играют в мяч, бросая его друг другу. На какую максимальную высоту поднимется мяч во время игры, если он от одного игрока к другому летит в течение 2 с? Сопротивлением воздуха пренебречь.