Меню сайта

10 класс

§ 10. Относительность механического движения. Закон сложения скоростей

Относительность движения.

Ранее для описания механического движения тела мы ввели понятие системы отсчёта. Дело в том, что не имеют определённого смысла слова «тело движется». Нужно обязательно сказать, по отношению к каким телам или относительно какой системы отсчёта это движение рассматривается. Например, пассажиры движущегося поезда неподвижны относительно стен вагона. И в то же время те же пассажиры движутся в системе отсчёта, связанной с Землёй. Таким образом, скорость одного и того же тела различна в разных системах отсчёта.

При решении конкретной задачи мы можем выбрать ту или иную систему отсчёта. Но среди этих систем отсчёта можно найти наиболее удобные, в которых движение выглядит проще. Особенно важен выбор системы отсчёта в космонавтике. Стыковку космических кораблей рассматривают в системе отсчёта, связанной с одним из кораблей. При выводе корабля на орбиту удобно использовать систему отсчёта, связанную с Землёй. Полёт межпланетных станций изучают в системе отсчёта, связанной с Солнцем и звёздами. Оси координат этой системы отсчёта направлены на удалённые звёзды, а начало координат совмещено с центром Солнца.

Представьте себе пассажира, выпускающего из рук мяч в равномерно движущемся относительно поверхности Земли вагоне. Он видит, как мяч падает относительно вагона вертикально вниз с ускорением. Свяжем с вагоном систему координат X₁O₁Y₁ (рис. 2.46).

В этой системе координат за время падения мяч пройдёт путь AD = h, и пассажир отметит, что мяч упал на пол со скоростью ₁ направленной вертикально вниз.

А что же увидит наблюдатель, находящийся на неподвижной платформе, с которой связана система координат XOY? Он заметит (представим себе, что стены вагона прозрачны), что траекторией мяча является парабола AD, и мяч упал на пол со скоростью ₂, направленной под углом к горизонту (см. рис. 2.46). Итак, наблюдатели в системах координат X₁O₁Y₁ и XOY обнаруживают различные по форме траектории, скорости и пройденные пути при движении одного тела — мяча.

Такие кинематические понятия, как траектория, координаты, путь, перемещение, скорость, при переходе от одной системы отсчёта к другой могут измениться. В этом и состоит относительность движения, и в этом смысле механическое движение всегда относительно.

Преобразования Галилея и их следствия.

Найдём связь между координатами, проекциями скоростей и ускорений в двух системах отсчёта К и K₁, движущихся относительно друг друга с постоянной скоростью . Для простоты будем считать, что координатные оси X и X₁ обеих систем отсчёта совпадают, а оси Y и Y₁ и Z и Z₁ параллельны друг другу. Пусть в начальный момент времени начала координат обеих систем отсчёта совпадают. Если в момент времени t движущееся тело находилось в положении А (рис. 2.47), то его положения в системах отсчёта К и K₁ можно задать радиусами-векторами = и ₁ = .

Тогда = ₁ + . За время t начало координат системы отсчёта K₁ переместилось на расстояние = t. Поэтому предыдущее равенство примет вид:

= ₁ + t           (1)

Для проекций на ось X можно записать:

х = x₁ + u_xt          (2).

Координаты y, z и y_l, z_l одинаковы в обеих системах отсчёта. При этом считается, что время течёт одинаково в системах отсчёта К и K₁, так что t = t₁. Выражения (1) или (2) вместе с утверждением о независимости течения времени от движения (t = t₁) называют преобразованиями Галилея. Преобразования координат при переходе от системы отсчёта K₁ к системе отсчёта К будут иметь вид (с учётом того, что u_х = u):

Закон сложения скоростей.

Найдём теперь преобразования скоростей движения тела при переходе от одной системы отсчёта к другой. При движении тела, находящегося в точке А, её радиус-вектор в системе отсчёта К за малый интервал времени Δt изменится на Δ и станет равным + Δ. За то же время в системе отсчёта K₁ вектор ₁ изменится на Δ₁ и станет равным ₁ + Δ₁. Согласно выражению (1), эти новые векторы должны быть связаны соотношением:

+ Δ = ₁ + Δ₁ + (t + Δt).

Учитывая, что = ₁ + t, получим

Δ = Δ₁ + Δt

Эта формула связывает перемещения Δ и Δ₁ за время Δt. Разделим правую и левую части этого равенства на Δt и будем считать, что интервал Δt → 0. Тогда скорости тела в различных системах отсчёта, движущихся относительно друг друга с постоянной скоростью , будут связаны соотношением (закон сложения скоростей):

Часто для большей наглядности и удобства используют понятия абсолютного, относительного и переносного движений. Для этого одну из систем координат, например XOY, считают условно неподвижной. Движение тела относительно неподвижной системы координат называют абсолютным. Движение тела относительно подвижной системы координат (относительно X₁O₁Y₁) называют относительным. Движение подвижной системы координат относительно неподвижной называют переносным. Скорость, ускорение, перемещение, путь и траекторию тела в неподвижной системе координат называют абсолютными, а в подвижной системе — относительными. В формуле (4) — абсолютная скорость (_a), ₁ — относительная скорость (_отн) — переносная скорость (_п). C учётом этого закон сложения скоростей (4) можно записать в виде:

Закон сложения скоростей (5) геометрически осуществляется по правилу параллелограмма (рис. 2.48, а) или треугольника (рис. 2.48, б).

В заключение отметим, что, если одна система отсчёта движется относительно другой равномерно и прямолинейно, ускорения тела в них одинаковы.

Вопросы:

1. В чём состоит относительность механического движения? Приведите примеры.

2. Что называют преобразованиями Галилея?

3. Как связаны между собой скорости тела в различных системах отсчёта, → движущихся относительно друг друга с постоянной скоростью и 2

4. Какой физический смысл имеет:

а) абсолютная;

б) относительная;

в) переносная скорость?

5. Каким соотношением связаны данные физические величины?

Вопросы для обсуждения:

1. Пассажир перемещается вдоль палубы корабля, движущегося по реке. Какие из физических величин — перемещение пассажира, скорость его движения, длина палубы, промежуток времени — имеют одинаковые значения в системе отсчёта, связанной с берегом реки?

2. Чему равна относительная скорость автомобилей, движущихся навстречу друг другу по прямолинейному участку дороги?

3. Чему равна относительная скорость автомобилей, движущихся друг за другом по одному прямолинейному участку шоссе, но с разными скоростями?

Упражнения:

1. Пассажир, сидящий у окна поезда, идущего со скоростью 72 км/ч, видит в течение 10 с встречный поезд, длина которого 290 м. Определите модуль скорости встречного поезда относительно пассажира и относительно Земли.

2. Два поезда идут навстречу друг другу: один со скоростью, модуль которой равен 10 м/с, второй — со скоростью, модуль которой равен 20 м/с. Пассажир второго поезда, длина которого 200 м, замечает, что первый поезд проходит мимо него в течение 20 с. В течение какого времени второй поезд обогнал бы первый, если бы они шли в одном направлении?

3. Вагон поезда, движущийся со скоростью 54 км/ч, был пробит пулей, летевшей перпендикулярно направлению движения вагона. Смещение отверстий в стенках вагона относительно друг друга равно 6 см. Ширина вагона равна 2,4 м. Чему равен модуль скорости пули?

4. Самолёт движется относительно воздуха со скоростью, модуль которой равен 50 м/с. Модуль скорости ветра относительно Земли равен 15 м/с.

Чему равен модуль скорости самолёта относительно Земли, если он движется:

а) по ветру;

б) против ветра;

в) перпендикулярно направлению ветра?

5. Лодка, двигаясь перпендикулярно берегу, оказалась на другом берегу через 100 с, на расстоянии 25 м ниже по течению. Ширина реки равна 100 м. Определите модуль скорости лодки и модуль скорости течения реки.