Меню сайта

10 класс

§ 11. Кинематика движения по окружности

Движение по окружности.

До сих пор мы изучали движения с постоянным ускорением. Однако чаще встречаются случаи, когда ускорение изменяется. Рассмотрим движение тела с переменным ускорением, когда модуль ускорения не изменяется. Таким движением, в частности, является движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью:

за любые равные промежутки времени тело проходит дуги одинаковой длины. При этом скорость тела не изменяется по модулю, а меняется лишь по направлению.

Мы по-прежнему будем считать тело настолько малым, что его можно рассматривать как точку. Для этого размеры тела должны быть малы по сравнению с радиусом окружности, по которой движется тело.

Кинематические характеристики равномерного движения по окружности.

Пусть тело в момент времени t занимает на окружности положение А, а через малый интервал времени Δt — положение A₁ (рис. 2.49, а). Обозначим скорость тела в этих положениях через и ₁. При равномерном движении ₁ = υ. Задачу определения ускорения разобьём на две части: сначала найдём модуль ускорения, а потом его направление. За время Δt тело из положения А совершит перемещение . Рассмотрим треугольники OAA₁ и A₁CB (см. рис. 2.49, а).

Углы при вершинах этих равнобедренных треугольников равны, так как соответствующие стороны перпендикулярны. Поэтому треугольники подобны. Следовательно,

При уменьшении Δt до достаточно малого промежутка времени длина дуги окружности, по которой движется тело, стремится к длине отрезка AA₁. Длина дуги AA₁ — это путь, пройденный телом с постоянной по модулю скоростью υ. Он равен υΔt. C учётом этого соотношение (1) примет следующий вид:

Поскольку , то можно записать

Очевидно, что модуль ускорения при равномерном движении тела по окружности — постоянная величина, так как модули υ и r не изменяются при движении. Найдём направление ускорения. Из треугольника A₁CB следует, что вектор ускорения составляет с вектором скорости ₁ угол β = (180° - α)/2. Но при Δt → 0 точка A₁ бесконечно близко подходит к точке А и угол α → 0°. Следовательно, вектор ускорения составляет с вектором скорости угол β = 90°. Поэтому вектор ускорения направлен к центру окружности (рис. 2.49, б).

Равномерно движущееся по окружности тело имеет постоянное по модулю ускорение, направленное по радиусу к центру окружности (перпендикулярно скорости). Это ускорение называют центростремительным или нормальным.

Ускорение при движении по окружности непрерывно изменяется по направлению. Следовательно, равномерное движение тела по окружности является движением с переменным ускорением.

При движении тела по окружности радиус R — постоянная величина. Это позволяет ввести новые величины, описывающие данное движение: положение тела можно охарактеризовать углом, а вместо обычной скорости ввести угловые параметры. Проведём координатную ось X через центр окружности (начало координат), вдоль которой движется тело (рис. 2.50, а).

Тогда положение тела в точке А на окружности в любой момент времени однозначно определяется углом φ между осью X и радиусом-вектором , проведённым из центра окружности О к движущемуся телу. Углы будем выражать в радианах ¹.

---

¹ Напомним, что радиан равен центральному углу, опирающемуся на дугу, длина которой равна радиусу окружности. 1 рад приблизительно равен 57°17'48". В радианной мере угол φ равен отношению длины l дуги окружности к её радиусу R: φ = l / R.

При движении тела угол φ изменяется. Обозначим изменение угла за время Δt через Δφ. Для нахождения положения тела в любой момент времени необходимо знать угол φ₀ в начальный момент времени t₀ и определить, на сколько изменился угол за время движения (рис. 2.50, б):

φ = φ₀ + Δφ

Пусть тело движется по окружности с постоянной по модулю скоростью. Тогда за любые равные промежутки времени радиус-вектор поворачивается на одинаковые углы. Быстрота обращения тела определяется углом поворота радиуса-вектора за данный интервал времени. Для характеристики быстроты обращения тела на окружности используют физическую величину — угловую скорость.

Обозначим угловую скорость буквой ω. Тогда по определению

В СИ угловая скорость выражается в радианах в секунду (рад/с).

Например, угловая скорость точки земной поверхности равна 0,0000727 рад/с, а точильного диска — более 100 рад/с. Угловую скорость можно выразить через частоту обращения, т. е. число оборотов за 1 с. Если тело делает n оборотов в секунду, то время одного оборота равно 1 / n. Это время называют периодом обращения и обозначают буквой T. Taким образом, частота и период обращения связаны следующим соотношением:

Полному обороту тела на окружности соответствует угол Δφ = 2π. Тогда согласно формуле (2) угловая скорость

Если при равномерном обращении тела угловая скорость известна, то можно найти изменение угла поворота Δφ за время Δt: Δφ = ωΔt.

C учётом этого соотношения можно записать:

φ = φ₀ + ωΔt.

Примем начальный момент времени t₀ равным нулю: Δt = t - t₀ = t. В результате запишем уравнение, с помощью которого можно найти положение тела на окружности в любой момент времени, т. е. кинематическое уравнение равномерного движения по окружности.

φ = φ₀ + ωt.

Связь между линейной и угловой скоростями.

Скорость тела, движущегося по окружности, часто называют линейной скоростью, чтобы подчеркнуть её отличие от угловой скорости. Между линейной скоростью тела, обращающегося по окружности, и её угловой скоростью существует связь. При равномерном движении тела по любой траектории модуль скорости равен отношению пути s ко времени Δt, за которое этот путь пройден. Пусть тело движется по окружности радиусом R и за время Δt проходит путь, равный длине дуги A₁A₂ (рис. 2.51):

s = A₁A₂ + ΔφR.

Модуль линейной скорости движения равен

Модуль линейной скорости тела, равномерно движущегося по окружности, равен произведению угловой скорости на радиус окружности. Чем больше радиус окружности, тем больше по модулю линейная скорость тела (при заданной угловой скорости).

Формула (4) справедлива как для равномерного, так и для неравномерного движения тела по окружности.

Модуль ускорения тела, движущегося равномерно по окружности (центростремительное, или нормальное, ускорение) можно выразить через угловую скорость тела и радиус окружности. Так как α = υ² / R и υ = ωR, то

α = ω²R.

Таким образом, чем больше радиус окружности, тем большее по модулю ускорение имеет тело при заданной угловой скорости.

Вопросы:

1. Назовите особенности равномерного движения тела по окружности.

2. Почему при равномерном движении тела по окружности у него есть ускорение?

3. Куда направлено центростремительное ускорение тела при движении по окружности с постоянной скоростью?

4. Какую физическую величину называют:

а) угловой скоростью;

б) периодом обращения;

в) частотой обращения;

г) линейной скоростью?

5. Запишите кинематическое уравнение равномерного движения по окружности.

Пример решения задачи

Шкив диаметром 16 см делает 300 оборотов за 3 мин.

Чему равна:

а) частота обращения;

б) скорость движения точек обода шкива?

Упражнения:

1. Определите путь и модуль перемещения точки на краю диска радиусом 5 см, если диск сделал:

а) четверть оборота;

б) полоборота;

в) целый оборот;

г) 2,5 оборота.

2. Определите период обращения секундной, минутной и часовой стрелок часов. Для каждого из указанных случаев найдите частоту обращения.

3. Минутная стрелка часов на Спасской башне Кремля имеет длину 3,5 м. Определите модуль перемещения и путь, которые совершит конец этой стрелки:

а) за 30 мин;

б) 15 мин;

в) 10 мин.

4. Ветряное колесо радиусом 2 м делает 40 об/мин. Чему равен модуль центростремительного ускорения концевых точек лопастей колеса? При какой частоте обращения центростремительное ускорение будет в 2 раза больше?

5. Два тонких диска вращаются на общей оси. Расстояние между ними s = 30 см, частота обращения дисков равна 2000 об/мин (рис. 2.52). Пуля, летящая параллельно оси вращения на расстоянии h = 12 см от неё, пробивает оба диска. Пробоины в дисках смещены относительно друг друга на L = 0,3 см, считая по дуге окружности. Определите модуль скорости пули.