10 класс
§ 16. Сила всемирного тяготения. Закон всемирного тяготения
Зависимость силы тяготения от массы тел.
В главе «Кинематика» мы рассматривали свободное падение тел. Опыты Галилея показали, что Земля сообщает всем телам в данном месте одно и то же ускорение независимо от их массы. Это возможно лишь в том случае, если сила притяжения к Земле прямо пропорциональна массе тела. Именно в этом случае ускорение свободного падения, равное отношению силы земного притяжения к массе тела, является постоянной величиной.
Действительно, увеличение массы m тела, например, вдвое приведёт к увеличению модуля силы тоже вдвое, а ускорение, которое равно отношению F / m, останется неизменным.
Обобщая этот вывод для сил тяготения между любыми телами, можно заключить, что сила всемирного тяготения прямо пропорциональна массе тела, на которое эта сила действует. Но во взаимном притяжении участвуют, по меньшей мере, два тела. На каждое из них, согласно третьему закону Ньютона, действуют одинаковые по модулю силы тяготения. Поэтому каждая из этих сил должна быть пропорциональна как массе одного тела, так и массе другого. Сила всемирного тяготения (или гравитационная сила, от лат. graυitas — тяжесть) между двумя телами прямо пропорциональна произведению их масс:
F ~ m1m2 (1)
Законы Кеплера.
Наблюдения и исследования движения планет показывают, что оно вызвано силой притяжения к Солнцу. Используя многолетние наблюдения датского астронома Тихо Браге (1546—1601), немецкий учёный Иоганн Кеплер (1571 —1630) в начале XVII в. установил кинематические законы движения планет — так называемые законы Кеплера.
Первый закон Кеплера
Bce планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.
Эллипсом называют плоскую замкнутую кривую, сумма расстояний от любой точки которой до двух фиксированных точек (фокусов) постоянна (рис. 3.25).
Эта сумма расстояний равна длине большой оси AB эллипса, т. е.
F1P + F2P = 2b,
где F1 и F2 — фокусы эллипса; b = AB / 2 — его большая полуось; О — центр эллипса.
Ближайшая к Солнцу точка орбиты называется перигелием, а самая удалённая от него точка — афелием. Если Солнце находится в фокусе F1 (см. рис. 3.25), то точка А — перигелий, а точка В — афелий.
Второй закон Кеплера
Радиус-вектор планеты, соединяющий её с фокусом, за одинаковые промежутки времени описывает равные площади.
Если заштрихованные секторы (рис. 3.26) имеют одинаковые площади, то пути s1, s2, s3 будут пройдены планетой за равные промежутки времени. Из рисунка видно, что s1 > s2. Следовательно, линейная скорость движения планеты в различных точках её орбиты неодинакова. В перигелии скорость планеты наибольшая, в афелии — наименьшая.
Третий закон Кеплера
Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит.
Обозначив большую полуось орбиты и период обращения одной из планет через b1 и T1 (рис. 3.27), а другой планеты — через b2 и T2, этот закон можно записать в следующем виде:
Из этой формулы следует, что чем дальше планета находится от Солнца, тем больше её период обращения вокруг него.
На основе законов Кеплера можно сделать определённые выводы об ускорениях, сообщаемых планетам Солнцем. Для простоты мы будем считать орбиты планет не эллиптическими, а круговыми. (Для планет Солнечной системы эта замена не является слишком грубым приближением). Тогда сила притяжения со стороны Солнца в этом приближении должна быть направлена для всех планет к центру Солнца. Если обозначить периоды обращения планет через T, а радиусы их орбит — через R, то, согласно третьему закону Кеплера, для двух планет можно записать:
Модуль нормального ускорения при движении по окружности α = ω2R. Поэтому отношение модулей ускорений планет
C учётом уравнения (2) получим:
Так как третий закон Кеплера справедлив для всех планет, то ускорение планеты обратно пропорционально квадрату её расстояния до Солнца.
Таким образом, сила тяготения сообщает телам ускорение, не зависящее от их массы и убывающее обратно пропорционально квадрату расстояния между ними:
Закон всемирного тяготения.
Обобщая зависимости (1) и (3), Ньютон в 1687 г. открыл закон всемирного тяготения. В настоящее время он формулируется следующим образом.
Сила взаимного притяжения двух тел прямо пропорциональна произведению масс этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
Коэффициент пропорциональности G в формуле (4) называют гравитационной постоянной.
Закон всемирного тяготения справедлив только для таких тел, размеры которых пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием между ними. Иначе говоря, он выполняется только для материальных точек. При этом силы гравитационного взаимодействия направлены вдоль линии, соединяющей эти точки (рис. 3.28).
Подобного рода силы называют центральными. Можно доказать, что сферические тела, плотность которых зависит только от расстояний до их центров, при расстояниях между ними, больших суммы их радиусов, притягиваются с силами, модули которых определяются формулой (4). В этом случае R — это расстояние между центрами шаров.
Кроме того, размеры падающих на Землю тел много меньше размеров Земли, поэтому эти тела можно рассматривать как точечные. Тогда под R в формуле (4) следует понимать расстояние от данного тела до центра Земли.
Гравитационная постоянная.
Из формулы (4) можно выразить гравитационную постоянную:
Если расстояние между телами численно равно единице (R = 1 м) и массы взаимодействующих тел тоже равны единице (m1 = m2 = 1 кг), то гравитационная постоянная численно равна модулю силы всемирного тяготения.
Таким образом, гравитационная постоянная численно равна модулю силы тяготения, действующей на тело массой 1 кг со стороны другого тела такой же массы при расстоянии между телами, равном 1 м.
Из формулы (5) следует, что в СИ гравитационная постоянная выражается в H • м2 / кг2.
Значение гравитационной постоянной G может быть найдено только опытным путём. Впервые такое измерение было выполнено английским физиком Генри Кавендишем (1731 — 1810) в 1798 г. с помощью прибора, называемого крутильными веса ми. Схематично крутильные весы показаны на рисунке 3.29.
Кавендиш закрепил два маленьких свинцовых шара (диаметром 5 см и массой 775 г каждый) на противоположных концах двухметрового лёгкого стержня (коромысла). Стержень был подвешен на тонкой проволоке. Два больших свинцовых шара (диаметром 20 см и массой 49,5 кг каждый) можно было близко подводить к маленьким шарам. Силы притяжения со стороны больших шаров заставляли маленькие шары перемещаться по направлению к ним, при этом натянутая проволока немного закручивалась. Степень закручивания служила мерой силы, действующей между шарами. Угол закручивания проволоки (или поворота стержня с малыми шарами) оказался столь малым, что его пришлось измерять с помощью зеркальца, на которое направлялся узкий пучок света. Вращение стержня прекращалось в том случае, когда сила упругости закрученной нити становилась равной по модулю силе гравитационного взаимодействия. Измерив значение силы упругости, можно было получить значение гравитационной силы, действующей между свинцовыми шарами.
Результат, полученный Кавендишем, только на 1% отличается от значения гравитационной постоянной, принятого сегодня:
Отметим, что гравитационные силы — самые «слабые» из всех сил природы. Это связано с тем, что гравитационная постоянная мала. Но при больших массах космических тел силы всемирного тяготения становятся очень большими. Эти силы удерживают все планеты возле Солнца.
В заключение сделаем ряд важных замечаний.
1. Силы всемирного тяготения — самые универсальные из всех сил природы. Они действуют между любыми телами, обладающими массой.
2. Масса, которая входит во второй закон Ньютона, определяет инертные свойства тела, т. е. его способность приобретать определённое ускорение под действием приложенной к нему силы. Эту массу естественно назвать инертной массой mi. Массу, определяющую способность тел притягиваться друг к другу, следовало бы назвать гравитационной массой mg. При этом
Равенство (6) следует непосредственно из опыта. Тем самым, можно говорить просто о массе тела как количественной мере и инертных, и гравитационных его свойств.
Вопросы:
1. Сформулируйте законы Кеплера и объясните их физический смысл.
2. Приведите формулировку и математическую запись закона всемирного тяготения.
3. В каких случаях можно применять формулу закона всемирного тяготения?
4. Раскройте физический смысл гравитационной постоянной.
5. Опишите опыт Кавендиша по измерению гравитационной постоянной. Чему равно её значение?
Вопросы для обсуждения:
1. В книге «Математические начала натуральной философии» Ньютон писал: «Тяготение существует ко всем телам вообще и пропорционально массе каждого из них. ... Все планеты тяготеют друг к другу, тяготение каждой из них в отдельности обратно пропорционально квадратам расстояний места до центра этой планеты...» Выразите данные утверждения в виде формулы.
2. Как стала бы двигаться Луна, если бы:
а) исчезло тяготение между Луной и Землёй;
б) прекратилось бы движение Луны по орбите?
