10 класс
§ 17. Сила тяжести. Движение искусственных спутников Земли
Сила тяжести.
Частным, но важным для нас видом силы всемирного тяготения является сила притяжения тел к Земле. Её называют силой тяжести Fr. Используя закон всемирного тяготения, модуль силы тяжести можно определить по формуле:
где m — масса тела; M — масса Земли; R — радиус Земли; h — высота тела над поверхностью Земли.
Сила тяжести направлена вертикально вниз (к центру Земли) и сообщает телу ускорение, называемое ускорением свободного падения (рис. 3.30).
В соответствии со вторым законом Ньютона
C учётом выражения (1) для модуля ускорения свободного падения можно записать:
На поверхности Земли (h = 0) модуль ускорения свободного падения равен
а сила тяжести равна
Центр тяжести тела.
Сила тяжести действует на все тела. Но к какой точке тела приложена эта сила, если тело нельзя считать материальной точкой? При любом положении тела в пространстве точкой приложения силы тяжести, действующей на тело, является одна и та же точка. Её называют центром тяжести тела.
Центром тяжести тела называют точку приложения силы тяжести, действующей на тело, при любом его положении в пространстве.
Важно понимать, что сила тяжести действует на все частицы, из которых состоит тело. Но если положение центра тяжести известно, то мы можем «забыть» о том, что на все части тела действуют силы тяжести, и считать, что есть только одна сила, приложенная в центре тяжести тела.
Руководствуясь соображениями симметрии, можно указать положение центра тяжести однородных тел простой формы (рис. 3.31): диск и шар — в центре; пластинка в форме параллелограмма и брус в форме параллелепипеда — в точке пересечения их диагоналей; цилиндр — на середине его оси.
Ускорение свободного падения.
Из формулы (2) следует, что ускорение свободного падения не зависит от массы тела. Его значение уменьшается при подъёме тела над поверхностью Земли, так как ускорение свободного падения обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли до тела. Если высота h тела над поверхностью Земли не превышает 100 км, то при расчётах, допускающих погрешность ≈ 1,5%, этой высотой можно пренебречь по сравнению с радиусом Земли (R = 6370 км). Тем самым, ускорение свободного падения на высотах до 100 км можно считать постоянным и равным 9,8 м/с2.
Однако у поверхности Земли ускорение свободного падения не везде одинаково, оно зависит от географической широты: больше на полюсах Земли, чем на экваторе. Дело в том, что земной шар несколько сплюснут у полюсов. Экваториальный радиус Земли больше полярного на 21 км.
Другой, более существенной причиной зависимости ускорения свободного падения от географической широты является вращение Земли. Второй закон Ньютона, с помощью которого получена формула (3), справедлив в ИСО. Такой системой является, например, гелиоцентрическая система. Систему же отсчёта, связанную с Землёй, строго говоря, нельзя считать инерциальной (см. § 12 "Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчёта"). Земля вращается вокруг своей оси и движется по замкнутой орбите вокруг Солнца.
Вращение Земли и сплюснутость её у полюсов приводят к тому, что ускорение свободного падения относительно геоцентрической системы отсчёта на разных широтах различно: на полюсах gпoл ≈ 9,83 м/с2, на экваторе gэкв ≈ 9,78 м/с2, на широте 45° g = 9,81 м/с2.
Кроме того, ускорение свободного падения зависит от плотности пород, залегающих в недрах Земли. В районах, где залегают породы, плотность которых больше средней плотности Земли (например, железная руда), g больше, а там, где имеются залежи нефти, — оно меньше. Этот факт используют геологи при поиске полезных ископаемых.
Движение искусственных спутников земли.
Искусственный спутник Земли — космический летательный аппарат, выведенный на околоземную орбиту. Вычислим, какой скоростью должен обладать искусственный спутник Земли, чтобы он двигался по круговой орбите на высоте h над поверхностью Земли 1.
1 Для упрощения расчётов мы рассматриваем движение спутника по круговой орбите. Между тем спутники движутся по эллиптическим, а не круговым орбитам.
На больших высотах воздух сильно разрежен и оказывает незначительное сопротивление движущимся телам. Поэтому можно считать, что на спутник действует только гравитационная сила, направленная к центру Земли (рис. 3.32): 
где M — масса Земли; m — масса спутника; R — радиус Земли.
Эта сила сообщает спутнику центростремительное ускорение:
По второму закону Ньютона
Следовательно, 
Отсюда
Итак, скорость движения спутника зависит от его высоты над поверхностью Земли: чем больше эта высота, тем с меньшей скоростью он будет двигаться по круговой орбите. Эта скорость не зависит от массы спутника. Другими словами, спутником Земли может стать любое тело, если ему сообщить на данной высоте направленную перпендикулярно радиусу Земли скорость, модуль которой определяется выражением (4).
Минимальную скорость, которую необходимо сообщить телу у поверхности Земли (или небесного тела), чтобы оно стало двигаться вокруг Земли (или небесного тела) по круговой орбите вблизи её поверхности под действием гравитационной силы, называют первой космической скоростью.
Первую космическую скорость υ1 для Земли вблизи её поверхности можно найти, используя формулу (4), если принять h = 0:
Из формулы (3) следует, что GM = gR2.
C учётом этого формула (5) примет вид:
Так как g ≈ 9,8 м/с2, a R ≈ 6,4 ∙ 106 м, то первая космическая скорость для Земли вблизи её поверхности оказывается равной
υ1 ≈ 7,9 км/с.
Если модуль скорости превысит значение υп = 11,2 км/с (вторая космическая скорость), то тело способно, преодолев притяжение Земли, удалиться от неё и улететь в космос. Расчёты показывают, что
Для того чтобы отправить космический корабль к другим планетам Солнечной системы, ему необходимо сообщить скорость бо́льшую υп.
Вопросы:
1. Какую силу называют силой тяжести? Куда она направлена?
2. Как можно определить ускорение свободного падения, если: а) тело поднято на высоту h над поверхностью Земли; б) высота h = 0?
3. Почему у поверхности Земли ускорение свободного падения не везде одинаково? Где больше его значение: на полюсах или на экваторе?
4. К какой точке тела приложена сила тяжести? Как называют эту точку?
5. Что называют первой космической скоростью? Чему примерно равно значение этой скорости для Земли вблизи её поверхности?
Вопросы для обсуждения:
1. Где больше ускорение свободного падения — в Москве или в Санкт- Петербурге?
2. Каким образом можно определить центр тяжести человека?
3. Какими часами следует определять время на космическом корабле в условиях невесомости: маятниковыми, песочными, пружинными?
Пример решения задачи
Тело (материальная точка) имеет массу, равную 10 кг. Чему равна сила тяжести, действующая на это тело на высоте трёх земных радиусов от поверхности Земли? Ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли считать равным 9,8 м/с2.
Упражнения:
1. Определите силы, с которыми действуют друг на друга вследствие тяготения два соприкасающихся свинцовых шара радиусом 30 см каждый.
2. Во сколько раз уменьшится сила притяжения космического корабля к Земле при его удалении от поверхности Земли на расстояние, равное: а) радиусу Земли; б) трём радиусам Земли; в) пяти радиусам Земли?
3. Определите период обращения искусственного спутника Земли, вращающегося по круговой орбите радиусом, равным трём радиусам Земли. Радиус Земли равен 6400 км, ускорение свободного падения вблизи её поверхности равно 9,8 м/с2.
4. Первая космическая скорость вблизи поверхности планеты радиусом 4000 км равна 4 км/с. Определите ускорение свободного падения вблизи поверхности этой планеты.
5. Чему равна первая космическая скорость для планеты, масса и радиус которой в 3 раза больше, чем у Земли?
6. Радиус планеты Mapc составляет 0,53 радиуса Земли, а масса — 0,11 массы Земли. Зная ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли, найдите его значение на поверхности Марса.
7. Средняя плотность Венеры составляет 5200 кг/м3, а её радиус — 6100 км. Найдите ускорение свободного падения вблизи поверхности Венеры.
8. Тему равна средняя скорость движения Земли по орбите, если радиус её орбиты равен 1,5 ∙ 1011 м, а масса Солнца равна 2 ∙ 1030 кг?
