10 класс
§ 41. Уравнение состояния идеального газа
Уравнение Клапейрона.
Состояние идеального газа данной массы характеризуется тремя макроскопическими параметрами: давлением р, объёмом V и температурой Т. Используя газовые законы pV = const и 
, можно получить уравнение, связывающее все три указанных параметра. Это уравнение называют уравнением состояния идеального газа.
Исследования физических явлений опытным путём
Исследуем это уравнение сначала экспериментально. Для этого возьмёхм герметичный гофрированный сосуд, соединённый с манометром (рис. 6.19).
Вращением винта можно изменять объём сосуда. Об объёме газа можно судить с помощью линейки. Пусть в начальном состоянии 1 газ в сосуде (рис. 6.20, а) имеет давление p1, объём V1 и температуру T1, равную температуре окружающего воздуха.
Затем газ переходит в состояние 2, при котором давление, объём и температура будут иметь соответственно значения p2, объём V2 и температуру T2. Переведём газ из состояния 1 в состояние 2 с помощью двух процессов: изобарного и изотермического. Для этого поместим сосуд в большую банку с водой, нагретой до температуры T2 (рис. 6.20, б). Вода в банке будет служить термостатохм. Одновременно начнём увеличивать объём газа так, чтобы давление p1 оставалось постоянным (изобарный процесс). Газ с течением времени перейдёт в промежуточное состояние 1' с объёмом V' и температурой T2. Графически этот переход обозначен прямой 1 - 1' на рисунке 6.21.
Затем изотермически при температуре T2 переведем газ в конечное состояние 2 с давлением p2 и объемом V2, при этом меделенно уменьшая объём сосуда (рис. 6.20, в). Графически этот процесс отображает участок гиперболы 1' - 2 (см. рис. 6.21).
Согласно закону Гей-Люссака,
Применяя закон Бойля-Мариотта для изотермического процесса, получим:
Выразим из уравнения (1) объём V':
и подставим полученное значение в уравнение (2). Тогда
В пределах точности, обеспечиваемой экспериментальной установкой, данный результат согласуется с опытом. Так как начальное и конечное состояния газа выбраны произвольно, то можно сделать следующий вывод.
Произведение давления идеального газа данной массы на его объём, делённое на абсолютную температуру, есть величина постоянная, не зависящая от состояния, в котором находится газ.
Уравнение (3) носит название уравнения Клапейрона 1 (или объединённого газового закона) и представляет собой одну из форм записи уравнения состояния идеального газа.
1 Бенуа Поль Эмиль Клапейрон (1799 — 1864) — французский физик и инженер, автор работ по термодинамике.
Вычислим значение постоянной в уравнении (3). Возьмём вначале газ в количестве 1 моль, его объём обозначим через Vм. При температуре 0 °C и атмосферном давлении 101 325 Па объём одного моля любого газа один и тот же: Vмo = 0,0224 м3/моль. Для одного моля любого газа:
Таким образом, для одного моля газа произведение давления на его объём, отнесённое к абсолютной температуре, является постоянной величиной для всех газов. Её называют универсальной газовой постоянной и обозначают буквой R:
Уравнение Менделеева — Клапейрона.
Для одного моля идеального газа, как следует из выражений (3) и (4), можно записать:
Пусть количество газа равно произвольному числу молей
где m — масса газа; M — его молярная масса.
Объём V этого количества вещества при тех же значениях давления и температуры равен
Умножая обе части уравнения (5) на ѵ и учитывая выражение (6), получим более общую запись уравнения состояния для произвольной массы идеального газа:
В такой форме уравнение состояния было впервые записано великим русским учёным Дмитрием Ивановичем Менделеевым (1834—1907). Поэтому уравнение (7) называют уравнением Менделеева — Клапейрона. Единственная величина в уравнении состояния, зависящая от рода газа, это его молярная масса.
Вопросы:
Запишите уравнение:
а) Клапейрона;
б) Менделеева — Клапейрона.
2. Какие макроскопические параметры идеального газа связывает между собой уравнение Менделеева — Клапейрона?
Упражнения:
1. Воздушный шар объёмом 800 м3 наполнен гелием, находящимся при нормальных условиях. Нa сколько возрастёт подъёмная сила шара, если гелий нагреть на 20 К? Считайте, что оболочка не растяжима, нагревание происходит через отверстие в нижней части оболочки шара.
2. Воздух, находящийся в упругой оболочке при температуре 20 °C и давлении 105 Па, занимает объём 2 л. Какой объём займёт этот воздух под водой на глубине 136 м, на которой температура равна 4 °C?
3. Баллон, содержащий воздух при температуре 273 К и давлении 105 Па, плотно прикрывает крышка с площадью поверхности 103 м2 и массой 20 кг. До какой температуры нужно нагреть воздух, чтобы он приподнял крышку?
4. В вертикальном цилиндрическом сосуде с площадью основания 0,01 м2 под поршнем массой 50 кг находится идеальный газ при температуре 47 °C. Поршень расположен на высоте 0,5 м от дна сосуда. На сколько опустится поршень, если положить на него груз массой 350 кг, а газ нагреть до 127 °C? Трение о стенки сосуда не учитывать. Атмосферное давление равно 105 Па.
5. В узкой цилиндрической трубке, запаянной с одного конца, находится воздух, отделённый от наружного пространства столбиком ртути длиной l = 15 см. Когда трубка лежит горизонтально, воздух в ней занимает объём V1 = 240 мм3, когда трубка устанавливается вертикально, открытым концом вверх, то воздух занимает объём V2 ≡ 200 мм3. Чему равно атмосферное давление во время опыта? Ответ выразите в мм рт. ст.
