Меню сайта

10 класс

§ 42. Основное уравнение MKT

Давление газа в МКТ.

Газ, находящийся в закрытом сосуде, имеет давление р₀. Оно измерено манометром. Как возникает это давление? Каждая молекула газа, ударяясь о стенку сосуда, в течение малого промежутка времени действует на неё с определённой силой. В результате беспорядочных ударов о стенку сила, действующая со стороны всех молекул на поверхность стенки единичной площади, т. е. давление, будет быстро меняться со временем примерно так, как показано на рисунке 6.22.

Однако действия, вызванные ударами отдельных молекул, настолько слабы, что манометром они не регистрируются. Манометр фиксирует среднюю по времени силу, действующую на каждую единицу площади поверхности его чувствительного элемента — мембраны. Несмотря на небольшие изменения давления, среднее значение давления р₀ оказывается вполне определённым, так как ударов о стенку очень много, а массы молекул очень малы.

Вывод основного уравнения МКТ.

Вычислим с помощью MKT давление идеального газа, находящегося в прямоугольном сосуде с твёрдыми стенками. Газ и сосуд имеют одинаковые температуры, т. е. находятся в состоянии теплового равновесия. Будем считать, что молекулы сталкиваются со стенками абсолютно упруго. При этом условии кинетическая энергия молекул в результате столкновения не изменяется.

При движении молекулы в трёхмерном пространстве XYZ направление X ничем не отличается от направлений Y и Z (в силу хаотического движения молекул), следовательно, для среднего значения квадрата проекции скорости справедливы равенства

Для каждой молекулы значение среднего квадрата скорости равно сумме средних квадратов её проекций:

Из этих выражений следует:

Множитель 1/3 появляется вследствие трёхмерности пространства.

Вычислим давление идеального газа на стенку CD сосуда, имеющую площадь S и расположенную перпендикулярно оси X (рис. 6.23).

При ударе молекулы о стенку её импульс изменяется: Δp_x = m₀(υ_x- υ_0x). При абсолютно упругом взаимодействии модули скорости молекулы до и после удара равны, и тогда изменение импульса Δp_x = 2m₀υ_x). Согласно второму закону Ньютона, изменение импульса молекулы равно импульсу подействовавшей на неё силы со стороны стенки сосуда. По третьему закону Ньютона импульс силы, с которой молекула подействовала на стенку, будет иметь то же значение. Следовательно, в результате удара молекулы на стенку подействовала сила, импульс которой равен 2m₀|υ_x|.

Молекул много, и каждая из них передаёт стенке при столкновении такой же импульс. За время t они передадут стенке импульс 2m₀|υ_x|Z, где Z — число ударов всех молекул о стенку за это время. Число Z прямо пропорционально концентрации n молекул, т. е. числу молекул в единице объёма, а также скорости молекул |υ_x|.

Чем больше эта скорость, тем больше молекул за время t успеют столкнуться со стенкой.

Кроме того, число столкновений молекул со стенкой пропорционально площади S поверхности стенки: Z ~ n|υ_x|St. Нужно ещё учесть, что в среднем только половина всех молекул движется к стенке. Благодаря хаотическому движению направления движения молекул по и против оси OX равновероятны, поэтому вторая половина молекул движется в обратную сторону. Число ударов молекул о стенку за время t Z ~ 1/2n|υ_x|St и полный импульс силы, подействовавшей на стенку, Ft = 2m₀|υ_x|Zt.

Отсюда

Учтём, что не все молекулы имеют одно и то же значение квадрата скорости. В действительности средняя сила, действующая на стенку, пропорциональна не , а среднему значению квадрата скорости Так как согласно формуле (1) . Таким образом, давление газа на стенку сосуда равно:

В итоге мы получили выражение для определения давления идеального газа, или основное уравнение МКТ.

Среднеквадратичная скорость.

Отметим, что стоящая в правой части уравнения (2) величина связана со среднеквадратичной скоростью υ_cp.кв хаотического движения молекул следующим соотношением:

где υ₁, υ₂, ..... υ₁, — модули скоростей молекул; N — их число.

C учётом этого уравнение (2) можно записать в виде:

Данная формула связывает макроскопическую величину — давление, которое может быть измерено манометром, — с микроскопическими величинами, характеризующими молекулы.

Если через обозначить среднюю кинетическую энергию хаотического поступательного движения одной молекулы: , то уравнение (2) можно записать в виде:

Давление идеального газа на стенки сосуда зависит от концентрации молекул и средней кинетической энергии хаотического поступательного движения молекул.

Вопросы:

1. Какие законы механики используются при выводе основного уравнения МКТ?

2. Между какими физическими величинами устанавливает связь основное уравнение МКТ?

3. Как рассчитать давление идеального газа, зная среднюю кинетическую энергию хаотического поступательного движения молекул?

Пример решения задачи

Среднеквадратичная скорость молекул идеального газа равна 400 м/с. Определите объём, который займёт 1 кг газа в сосуде при нормальном атмосферном давлении, равном 10⁵ Па.

Тогда основное уравнение MKT можно записать в виде:

Учитывая, что Nm₀ = m, запишем:

Подставляя числовые данные, получим:

Ответ: V ≈ 0,53 м³.

Упражнения:

1. Какое давление на стенки сосуда объёмом 0,5 л производит идеальный газ массой 3 ∙ 10 ^-3 кг, если среднеквадратичная скорость молекул равна 500 м/с?

2. Какое давление на стенки сосуда производит кислород, если среднеквадратичная скорость его молекул равна 400 м/с, а число молекул в 1 см³ равно 2,7 ∙ 10¹⁹?

3. В колбе ёмкостью 1,2 л содержится 3 ∙ 10²² атомов гелия при давлении, равном 10⁵ Па. Чему равна средняя кинетическая энергия хаотического поступательного движения атомов?

4. В колбе ёмкостью 100 см³ содержится газ при температуре, равной 27 °C. На сколько изменится давление газа, если вследствие утечки из колбы выйдет 10²⁰ молекул?