Меню сайта

10 класс

§ 43. Температура и средняя кинетическая энергия хаотического движения молекул

Температура и средняя кинетическая энергия.

Из основного уравнения MKT можно получить важное следствие: температура — мера средней кинетической энергии хаотического поступательного движения молекул. Для доказательства этого утверждения будем считать количество идеального газа равным 1 моль. Молярный объём газа обозначим 2 — через V_M. Запишем основное уравнение MKT , умножим обе его части на молярный объём V_M и учтём, что nV_M = N_A:

Формула (1) устанавливает связь макроскопических параметров газа — давления р и объёма V_M — со средней кинетической энергией хаотического поступательного движения молекул.

Вместе с тем полученное опытным путём уравнение состояния идеального газа для 1 моль газа имеет вид:

Левые части уравнений (1) и (2) одинаковы. Следовательно, должны быть равны и их правые части, т. е. .

Отсюда можно установить связь между средней кинетической энергией хаотического поступательного движения молекул и температурой:

Чем выше температура, тем быстрее движутся молекулы. Соотношение между и T установлено для разреженных газов. Оно верно для жидкостей, а также для твёрдых тел, у которых атомы могут лишь колебаться около положений равновесия в узлах кристаллической решётки. При приближении температуры к абсолютному нулю энергия теплового движения молекул также приближается к нулю ¹.

---

¹ Согласно законам квантовой механики, абсолютный нуль соответствует минимальному значению энергии движения, а не полному прекращению какого-либо движения.

В уравнение (3) входит отношение универсальной газовой постоянной R к постоянной Авогадро N_A. Это отношение одинаково для всех веществ. Оно называется постоянной Больцмана в честь австрийского учёного Людвига Больцмана (1844— 1906).

Постоянная Больцмана равна

Уравнение (3) с учётом постоянной Больцмана можно записать в следующем виде:

Физический смысл постоянной Больцмана.

После установления связи температуры со средней кинетической энергией хаотического движения молекул стало очевидным, что температуру можно определять как среднюю кинетическую энергию молекул и выражать её в джоулях. Поэтому постоянную Больцмана можно рассматривать как величину, связывающую температуру, выражаемую в энергетических единицах, с температурой, выраженной в градусах.

Зависимость давления газа от концентрации его молекул и температуры.

Подставив в формулу соотношение (4), получим выражение, связывающее давление газа, концентрацию его молекул и температуру:

Из формулы (5) следует, что при одинаковых давлениях и температурах концентрация молекул у всех газов одна и та же. Отсюда можно прийти к закону Авогадро в равных объёмах газов при одинаковых давлениях и температурах содержится одинаковое число молекул.

Закон Дальтона.

На практике чаще имеют дело не с чистым газом — кислородом, водородом и т. д., а со смесью газов. Атмосферный воздух, в частности, представляет собой смесь азота, кислорода и многих других газов. Каждый из газов смеси вносит свой «вклад» в суммарное давление на стенки сосуда. Давление, которое имел бы каждый из газов, составляющих смесь, если удалить из сосуда остальные газы, называют парциальным (т. е. частным) давлением.

Это соотношение называют законом Дальтона, в честь английского химика Джона Дальтона (1766—1844). Он установил, что соотношение (6) выполняется для достаточно разреженных газов. C точки зрения MKT закон Дальтона выполняется потому, что взаимодействие между молекулами идеального газа отсутствует. Поэтому каждый газ оказывает на стенку сосуда такое давление, как если бы остальных газов не было.

Внутренняя энергия идеального газа.

Внутренней энергией тела (системы тел) U называют энергию, которая зависит только от термодинамического состояния тела или системы тел. C точки зрения MKT внутренняя энергия макроскопического тела равна сумме кинетических энергий хаотического (теплового) движения всех молекул (или атомов) и потенциальных энергий их взаимодействия друг с другом.

Вычислить внутреннюю энергию идеального газа не составляет большого труда. Вспомним, что в модели идеального газа молекулы не взаимодействуют друг с другом на расстоянии, поэтому их потенциальная энергия взаимодействия равна нулю. Следовательно, внутренняя энергия идеального газа определяется кинетической энергией хаотического движения его молекул. При этом энергией, связанной с вращением молекул и колебаниями атомов в молекулах, пренебрегают.

Наиболее прост по своим свойствам одноатомный газ, т. е. газ, состоящий из отдельных атомов, а не молекул. Одноатомными являются инертные газы — гелий, неон, аргон и др. Их средняя потенциальная энергия очень мала и вся энергия представляет собой кинетическую энергию хаотического движения молекул. Это справедливо, если сосуд с газом покоится, т. е. газ как целое не движется. Тогда упорядоченное движение отсутствует и механическая энергия газа равна нулю. Газ обладает только внутренней энергией.

Для вычисления внутренней энергии идеального одноатомного газа массой т нужно умножить среднюю кинетическую энергию одного атома, выражаемую формулой (4), на число атомов. Это число равно произведению количества вещества v = m/M на постоянную Авогадро N_A.

Умножая равенство (4) на m/MN_A И учитывая, что R = kN_A, получим выражение для внутренней энергии U идеального одноатомного газа:

Внутренняя энергия идеального газа прямо пропорциональна его абсолютной температуре, от объёма газа она не зависит.

Внутренняя энергия идеального одноатомного газа (7) — это по существу суммарная кинетическая энергия хаотического поступательного движения молекул.

Внутренняя энергия молекулярных газов.

Любое тело в классической механике характеризуется определённым числом степеней свободы f — числом независимых переменных (координат), однозначно определяющих положение тела в пространстве. Соответственно число независимых движений, которые тело может совершать, также равно f. Атом можно рассматривать как однородный шарик с числом степеней свободы f = 3 (рис. 6.24, а). Атом может совершать только поступательное движение потрём независимым, взаимно перпендикулярным направлениям. Двухатомная молекула обладает осевой симметрией (рис. 6.24, б) и имеет пять степеней свободы. Три степени свободы соответствуют её поступательному движению и две — вращательному вокруг двух осей, перпендикулярных друг другу и оси симметрии (линии, соединяющей центры атомов в молекуле). Многоатомная молекула, подобно твёрдому телу произвольной формы, характеризуется шестью степенями свободы (рис. 6.24, в). Наряду с поступательным движением молекула может совершать вращения вокруг трёх взаимно перпендикулярных осей.

От числа степеней свободы молекул зависит внутренняя энергия газа. Вследствие беспорядочности теплового движения ни один из видов движения молекулы не имеет преимущества перед другим. На каждую степень свободы, соответствующую поступательному или вращательному движению молекул, приходится одна и та же средняя кинетическая энергия. В этом состоит теорема о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы (её строгое доказательство приводится в статистической механике). Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул

Поступательному движению соответствуют три степени свободы. Следовательно, на одну степень свободы приходится средняя кинетическая энергия, равная

Если эту величину умножить на число степеней свободы f и число молекул газа массой m, то получится внутренняя энергия произвольного идеального газа:

Вопросы:

1. Как связаны между собой температура и средняя кинетическая энергия хаотического поступательного движения молекул идеального газа?

2. В чём состоит физический смысл:

а) температуры с точки зрения МКТ;

б) постоянной Больцмана?

3. Как зависит давление идеального газа от концентрации его молекул и температуры?

4. Сформулируйте закон Дальтона.

5. Чем отличаются формулы для определения внутренней энергии идеального одноатомного газа и молекулярных газов?

Вопросы для обсуждения:

В закрытом со всех сторон сосуде находится не идеальный газ, молекулы которого при ударах о стенки передают им часть кинетической энергии. Будет ли нагреваться сосуд, если он теплоизолирован от окружающей среды?

Пример решения задачи

Внутренняя энергия порции гелия, содержащейся в сосуде при температуре 27 °C, составляет 10 Дж. Определите число молекул гелия.

Ответ: N ≈ 1,6 ∙ 10²¹ молекул.

Упражнения:

1. Во сколько раз изменится давление идеального газа, если концентрация его молекул увеличится в 3 раза, а среднеквадратичная скорость молекул уменьшится в 3 раза?

2. Вакуумные насосы позволяют понижать давление до величины 10 ^-10 Па. Сколько молекул газа содержится в кубическом сантиметре при указанном давлении и температуре, равной 27 °C?

3. Два баллона ёмкостью 10 и 5 л заполнены соответственно кислородом до 4 атм и углекислым газом до 8 атм при одной и той же температуре. Баллоны соединяют между собой тонкой трубкой. При этом образуется смесь газов той же температуры. Определите давление смеси.

4. Как изменится внутренняя энергия идеального одноатомного газа, если его давление увеличится в 3 раза, а объём уменьшится в 2 раза?

5. В сосуде находилось 0,3 кг гелия. Через некоторое время в результа те утечки гелия и уменьшения абсолютной температуры на 10% давление в сосуде уменьшилось на 20%. Какое число молекул вышло из сосуда?