Меню сайта

10 класс

§ 67. Электрическая ёмкость. Плоский конденсатор. Соединение конденсаторов

Электрическая ёмкость уединённого проводника.

Рассмотрим сферический проводник радиусом r. Пусть он находится очень далеко от других тел, так что его размеры во много раз меньше расстояний до этих тел. Такой проводник называют уединённым. При сообщении шару заряда q в окружающем пространстве возникнет электростатическое поле. Потенциал шара изменится и станет равным φ. Если потенциал бесконечно удалённых точек поля принять равным нулю, то потенциал шара можно вычислить по формуле Поэтому отношение заряда шара к его потенциалу не зависит от заряда и определяется лишь радиусом шара и диэлектрической проницаемостью ɛ окружающей среды.

Отметим, что не только для уединённой сферы, но и для уединённого проводника произвольной формы потенциал прямо пропорционален заряду. Поэтому отношение заряда проводника к его потенциалу не зависит от значения заряда и определяется лишь геометрическими размерами проводника, его формой и электрическими свойствами окружающей среды (диэлектрической проницаемостью ε). Это позволяет ввести понятие электрической ёмкости уединённого проводника.

Согласно определению ёмкости (2) и формуле (1) электрическая ёмкость шара равна:

Ёмкость не зависит от материала проводника. Железные, медные тела и тела из других материалов одинаковых размеров и формы имеют одинаковую ёмкость. Чем больше ёмкость проводника, тем меньше меняется его потенциал при сообщении заряда.

Единицы электроёмкости.

Формула (2) позволяет ввести единицу электроёмкости. В СИ единицей ёмкости является фарад (Ф) в честь Фарадея. Емкостью в 1 Ф обладает такой проводник, у которого потенциал возрастает на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл.

Ёмкость, равная 1 Ф, очень большая. Уединённый шар, обладающий такой ёмкостью, имел бы радиус, в 13 раз превышающий радиус Солнца ¹.

---

¹ На практике часто используют дольные единицы фарада: микрофарад (мкФ) — 10 ^-6Φ, пикофарад (пФ) — 10 ^-12 Ф. Ёмкость земного шара примерно равна 709 мкФ.

Из формулы (3) можно выразить электрическую постоянную ε₀ через ёмкость и размеры проводника.

Исследования физических явлений опытным путём

Зависимость ёмкости проводника от окружающих тел.

Возьмём электрометр и заземлим его корпус. К стержню электрометра прикрепим полый металлический шар с отверстием. Сообщим электрометру заряд q с помощью маленького металлического шарика на изолирующей ручке. Для этого коснёмся заряженным шариком внутренней поверхности сферы (рис. 9.57, а).

Весь заряд шарика при этом перейдёт к электрометру. При этом возникнет разность потенциалов между стержнем электрометра и Землёй, и его стрелка отклонится. Если сообщить электрометру ещё один такой же заряд q, то потенциал стержня относительно Земли увеличится в 2 раза (это можно обнаружить по большему отклонению стрелки электрометра). Следовательно, отношение заряда проводника к его потенциалу постоянно и равно ёмкости металлического шара со стержнем.

Но стоит поднести к шару ладони рук (не касаясь его), как стрелка электрометра приблизится к вертикальному положению. Потенциал шара при этом ухменьшается, а ёмкость, наоборот, возрастает. Почему это происходит? Потенциал проводника определяется не только зарядом на его поверхности. Незаряженные тела влияют на потенциал проводника, так как под действием поля шара электрометра на поверхностях проводников появляются свободные заряды противоположных знаков (вследствие электростатической индукции), а у диэлектриков — связанные за ряды (вследствие поляризации).

C помощью электрометра можно обнаружить зависимость ёмкости проводника от его размеров. Укрепим на стержне полый шар меньшего радиуса. Если сообщить ему такой же заряд q, как и в первом опыте, то потенциал стержня оказывается большим (рис. 9.57, б). Это свидетельствует об уменьшении ёмкости проводника при уменьшении размера шара. В действительности ни один проводник не является уединённым. Вблизи любого заряженного тела находятся те или иные предметы. И в этих случаях можно говорить о ёмкости проводника, но она будет зависеть от расположения окружающих тел. В этом мы только что убедились на опыте.

Конденсаторы.

Можно создать систему проводников, ёмкость которой не зависит от окружающих тел. При этом её ёмкость может быть очень большой. Такая система, называемая конденсатором, имеет большое практическое значение.

Проводники в этом случае называют обкладками (пластинами) конденсатора. Конденсаторы используют для накопления электрических зарядов.

На рисунке 9.58 приведены различные типы конденсаторов: а — плоский конденсатор; б — конденсатор переменной ёмкости; в — керамический конденсатор; г — электролитический конденсатор.

Простейший плоский конденсатор состоит из двух одинаковых параллельных пластин, находящихся на малом расстоянии друг от друга (рис. 9.59).

Если заряды пластин одинаковы по модулю и противоположны по знаку, то почти всё электрическое поле сосредоточено внутри конденсатора. Линии напряжённости начинаются на положительно заряженной обкладке конденсатора и оканчиваются на отрицательно заряжен ной. У сферического конденсатора, состоящего из двух концентрических сфер (рис. 9.60), всё поле сосредоточено между обкладками.

Для зарядки конденсатора нужно присоединить его обкладки к полюсам источника напряжения, например к полюсам батареи аккумуляторов. Можно также соединить одну обкладку с полюсом батареи, другой полюс которой заземлён, а вторую обкладку заземлить. Тогда на заземлённой обкладке останется заряд, противоположный по знаку и равный по модулю заряду другой обкладки. Такой же по модулю заряд уйдёт в землю.

Назовём зарядом конденсатора — модуль заряда одной из его обкладок.

Разность потенциалов между обкладками конденсатора пропорциональна напряжённости электростатического поля внутри него. Напряжённость поля, созданного пластинами, пропорциональна заряду пластин. Поэтому отношение заряда q одного из проводников (на другом находится такой же по модулю заряд) к разности потенциалов между этим проводником и соседним не зависит от заряда. Оно определяется геометрическими размерами проводников, их формой и взаимным расположением, а также электрическими свойствами окружающей среды (диэлектрической проницаемостью ε). Это позволяет ввести понятие электрической ёмкости двух проводников и, следовательно, ёмкости конденсатора.

Ёмкость C плоского конденсатора может быть определена по формуле:

где S — площадь пластины конденсатора; d — расстояние между пластинами; ε — диэлектрическая проницаемость вещества, которым заполнено пространство между пластинами.

Вывод формулы для ёмкости плоского конденсатора.

Выразим разность потенциалов (напряжение) U через заряд q конденсатора. Эта разность потенциалов определяется модулем напряжённости поля Е, который зависит от модулей зарядов обкладок конденсатора.

Модуль напряжённости поля E₁, созданного одной из пластин конденсатора, вычисляется по формуле (см. § 61 "Напряжённость поля различной конфигурации зарядов"):

Напряжённости поля положительно и отрицательно заряженных пластин равны по модулю и направлены внутри конденсатора в одну сторону. Поэтому модуль результирующей напряжённости поля равен:

Формула для определения ёмкости конденсатора запишется более компактно, если вместо коэффициента k использовать его выражение в виде: . Учитывая, что поверхностная плотность заряда получим:

Подставляя это выражение в формулу (4) и сокращая на q, получим, что ёмкость плоского конденсатора:

Если между пластинами конденсатора убрать диэлектрик, то ёмкость воздушного конденсатора уменьшится в ε раз по сравнению с ёмкостью конденсатора с диэлектриком.

Систему, состоящую из соединённых между собой конденсаторов, называют батареей конденсаторов. Рассмотрим параллельное и последовательное соединения конденсаторов.

Параллельное соединение конденсаторов.

При параллельном соединении двух конденсаторов 1 и 2, ёмкости которых равны C₁ и C₂, их обкладки соединяют попарно друг с другом (рис. 9.61).

Под ёмкостью батареи понимают отношение заряда, сообщённого батарее, к разности потенциалов между обкладками конденсаторов. Разность потенциалов U при параллельном соединении одинакова для обоих конденсаторов. Заряд же батареи равен

q = q₁ + q₂ ,

где q₁ и q₂ — заряды первого и второго конденсаторов.

Ёмкость батареи из параллельно соединённых конденсаторов равна

Так как и , то

C = C₁ + C₂ ,

Пpи параллельном соединении конденсаторов их общая ёмкость равна сумме ёмкостей отдельных конденсаторов.

Если параллельно соединены п конденсаторов, то

Последовательное соединение конденсаторов.

Схема последовательного соединения двух конденсаторов изображена на рисунке 9.62.

В этом случае отрицательно заряженная обкладка первого конденсатора соединена с положительно заряженной обкладкой второго конденсатора. Заряды обоих конденсаторов по модулю одинаковы. Действительно, если заряд крайней обкладки первого конденсатора равен +q, то на противоположной обкладке вследствие электростатической индукции появится заряд -q. Так как проводник между конденсаторами и соединяемые им обкладки в целом нейтральны, то заряд внутренней обкладки второго конденсатора равен +q.

Ёмкость батареи из последовательно соединённых конденсаторов равна

где φ₁ и φ₂ — потенциалы крайних обкладок.

Ёмкости отдельных конденсаторов равны и ,

где φ' — потенциал внутренних обкладок.

Если сложить величины, обратные ёмкостям, то получим следующее выражение:

При последовательном соединении конденсаторов величина, обратная ёмкости батареи, равна сумме величин, обратных ёмкостям отдельных конденсаторов.

Если последовательно соединены n конденсаторов, то .

Ёмкость батареи последовательно соединённых конденсаторов меньше ёмкости конденсатора с минимальной ёмкостью в батарее. В заключение отметим, что конденсаторы различных типов соединяют параллельно или последовательно. Это позволяет получить батареи конденсаторов с заданной ёмкостью.

Вопросы:

1. Что называют электрической ёмкостью уединённого проводника?

2. Какую физическую величину называют ёмкостью конденсатора?

3. Как записывается формула для определения ёмкости плоского конденсатора:

а) без диэлектрика;

б) с диэлектриком?

4. Чему равна ёмкость батареи, состоящей:

а) из последовательно соединённых конденсаторов;

б) параллельно соединённых конденсаторов?

Вопросы для обсуждения:

1. Если к шарику заряженного электроскопа поднести руку, то листочки немного спадают. А если руку поднести к заряженному конденсатору, то напряжение между пластинами его не изменится. Объясните, почему так происходит.

2. Почему при помещении внутрь плоского конденсатора, помещённого на стержне электрометра, листа из оргстекла электрометр показал не уменьшение потенциала, а его увеличение?

Пример решения задачи

Плоский конденсатор зарядили до напряжения, равного 200 В, и отключили от источника тока. Каким станет напряжение между пластинами конденсатора, если:

а) между ними поместить плотно прилегающую к пластинам фарфоровую пластину;

б) расстояние между пластинами увеличить в 3,5 раза, а пространство между ними заполнить слюдой?

C учётом выражения для расчёта C₁ запишем:

б) Пластины конденсатора раздвинули и поместили между ними слюду, диэлектрическая проницаемость которой равна ε₂.

В этом случае

Тогда

C учётом выражений для расчёта C₀ и C₂ запишем:

Подставляя числовые данные, получим:

Ответ: U₁ = 40 В, U₂ ≈ 117 В.

Упражнения:

1. Площадь каждой пластины плоского воздушного конденсатора равна 401 см². Модуль заряда пластин равен 1,42 мкКл. Найдите напряжённость электростатического поля между пластинами конденсатора.

2. Во сколько раз изменится ёмкость плоского конденсатора, если уменьшить рабочую площадь пластин в 2 раза, а расстояние между ними увеличить в 3 раза?

3. При введении в пространство между пластинами воздушного конденсатора твёрдого диэлектрика напряжение на конденсаторе уменьшилось с 400 до 50 В. Определите диэлектрическую проницаемость диэлектрика.

4. Три конденсатора ёмкостями C₁ = C₂ = 1 мкФ и C₃ = 2 мкФ соединены по схеме, изображённой на рисунке 9.64, и подключены к источнику напряжения 120 В. Чему равна ёмкость данной батареи? Определите модули заряда и напряжения на каждом из конденсаторов.

5. Конденсаторы соединены по схеме, приведённой на рисунке 9.65. Найдите ёмкость каждой батареи конденсаторов, если ёмкости всех конденсаторов одинаковы и равны С.