10 класс
§ 68. Энергия электрического поля
Энергия заряженного конденсатора.
Для того чтобы зарядить конденсатор, нужно совершить работу по разделению положительных и отрицательных зарядов. Согласно закону сохранения энергии, эта работа равна энергии, приобретаемой конденсатором. В том, что заряженный конденсатор, как и любая другая система заряженных тел, обладает энергией, можно убедиться, если к пластинам заряженного конденсатора большой ёмкости подключить лампочку карманного фонарика. На короткое время она вспыхнет.
Выведем формулу для определения энергии плоского заряженного конденсатора. Модуль напряжённости электрического поля, созданного зарядом одной из пластин, равен E/2, где E — модуль напряжённости поля в конденсаторе. В однородном поле одной пластины находится заряд q, распределённый по поверхности другой пластины. Согласно формуле Wp = qEx (см. § 62 "Работа кулоновских сил. Энергия взаимодействия точечных зарядов") для потенциальной энергии заряда в однородном электростатическом поле, энергия заряженного конденсатора равна
где q — модуль заряда конденсатора; d — расстояние между его пластинами.
Так как Ed = U, где U — разность потенциалов (напряжение) между пластинами конденсатора, то его энергия равна
Эта энергия равна работе, которую совершит электростатическое поле при сближении пластин конденсатора вплотную. Заменив в формуле (1) либо разность потенциалов, либо заряд с помощью выражения C = q/U, можно записать:
Формулы (2) справедливы для расчёта энергии не только плоского конденсатора, но и для конденсаторов любой формы.
Энергия заряженного проводника.
Любой заряженный проводник, подобно заряженному конденсатору, обладает энергией. Будем заряжать проводник, перемещая к нему из бесконечности электрический заряд малыми порциями Δq. При этом электрическое поле проводника совершает работу
где φ — потенциал проводника, модуль заряда которого равен q. Потенциал на бесконечности считаем равным нулю (φ ∞ = 0). Тогда
где C — ёмкость проводника (уединённого тела).
Изменение энергии проводника при увеличении его заряда на Δq равно
Для малых изменений справедливо равенство qΔq = 1/2Δ(q2), поэтому полное изменение энергии (Wp) при изменении заряда проводника от нуля до q составляет
Таким образом, для энергии заряженного проводника справедливы выражения:
Объёмная плотность энергии электрического поля.
Подставим в формулу для энергии конденсатора 
значение ёмкости плоского конденсатора 
и выразим разность потенциалов в этой формуле через напряжённость электрического поля: U = Ed. Тогда энергия электростатического поля конденсатора будет равна:
Разделим выражение (4) на объём Sd, занятый электрическим полем. В результате получим энергию, приходящуюся на единичный объём, т. е. объёмную плотность энергии электрического поля:
Полученное выражение справедливо не только для однородного электростатического поля плоского конденсатора, но и для любых электрических полей.
В СИ единица объёмной плотности энергии электрического поля — джоуль на метр кубический (Дж/м3).
Используя полученные соотношения, рассмотрим применение закона сохранения энергии на примере следующей задачи.
Ёмкость плоского конденсатора, модуль заряда которого равен q, меняется от значения C1 до значения C2 при изменении расстояния между обкладками под действием внешних сил. Площадь пластин конденсатора равна S. Определите изменение энергии конденсатора, работу внешних сил и работу источника с напряжением U для двух случаев:
1) конденсатор отключён от источника напряжения;
2) конденсатор подключён к источнику напряжения.
1 случай. Конденсатор после зарядки отключён от источника с напряжением U.
Величиной, не изменяющейся при изменении ёмкости от C1 до C2, является электрический заряд у на обкладках конденсатора. Для расчёта электрической энергии заряженного конденсатора воспользуемся формулой 
. Так как изменение энергии электрического поля конденсатора произошло при изменении ёмкости, то изменение энергии электрического поля конденсатора можно записать в виде:
Изменение энергии электрического поля конденсатора, связанное с изменением его ёмкости, в соответствии с законом сохранения энергии, равно работе Aвн внешних сил:
2 случай. Конденсатор подключён к источнику напряжения.
Разность потенциалов между его обкладками при изменении ёмкости не изменяется и равна напряжению U источника электрической энергии. Электрическая энергия конденсатора изменяется как за счёт механической работы внешних сил Aвн, так и за счёт работы, совершаемой источником напряжения Aист. Конденсатор замкнут на внешнюю электрическую цепь, поэтому при изменении ёмкости по цепи протекают электрические заряды, вызывая выделение количества теплоты Q.
Запишем закон сохранения энергии для рассматриваемого случая:
Поскольку разность потенциалов на обкладках конденсатора остаётся неизменной, для расчёта энергии электрического поля конденсатора используем формулу
Тогда при изменении ёмкости произойдёт изменение энергии электрического поля конденсатора на величину:
При изменении заряда на обкладках конденсатора в процессе изменения ёмкости через источник напряжения протекает заряд:
Источник при этом совершает работу: Aист = U(q2 - q1).
Заряды конденсатора в начале и в конце изменения его ёмкости соответственно равны q1 = C1U и q2 = C2U.
Тогда работу источника электрической энергии можно определить следующим образом:
Сравнив формулы (5) и (6), можно показать, что Aист = 2ΔWp.
Используя закон сохранения энергии, найдём работу внешних сил:
Вопросы:
1. Как можно экспериментально подтвердить, что электрическое поле заряженного конденсатора обладает энергией?
2. Чему равна энергия электрического поля:
а) заряженного конденсатора;
б) заряженного проводника?
3. Какую физическую величину называют объёмной плотностью энергии электрического поля?
Вопросы для обсуждения:
1. Как можно изменить потенциал проводника, не касаясь его и не изменяя его заряда?
2. Изменится ли разность потенциалов пластин плоского воздушного конденсатора, если одну из них заземлить?
3. Два конденсатора разной ёмкости соединены параллельно. Какой из конденсаторов обладает большей электрической энергией?
Упражнения:
1. Каждая из пластин плоского конденсатора ёмкостью C имеет площадь, равную S. Расстояние между пластинами равно d.
Во сколько раз изменится:
а) ёмкость конденсатора, если увеличить расстояние между пластинами в 4 раза;
б) энергия электрического поля конденсатора, если разность потенциалов между его пластинами равна Δφ;
в) объёмная плотность энергии электростатического поля конденсатора?
2. Объёмная плотность энергии электростатического поля при атмосферном разряде в воздухе равна 20 Дж/м3. Оцените, чему равна напряжённость поля при электрическом разряде.
