Меню сайта

11 класс

§ 22. Закон электромагнитной индукции. Вихревое электрическое поле

Закон электромагнитной индукции.

Опыты Фарадея показали, что сила индукционного тока I₁ в проводящем контуре пропорциональна скорости изменения числа линий магнитной индукции, пронизывающих поверхность, ограниченную этим контуром. Более точно это утверждение можно сформулировать, используя понятие магнитного потока.

Скорость изменения линий магнитной индукции, пронизывающих поверхность площадью S, представляет собой скорость изменения магнитного потока. Если за малый промежуток времени Δt магнитный поток меняется на ΔΦ, то скорость изменения магнитного потока равна ΔΦ / Δt.

Поэтому утверждение, которое следует из результатов опытов Фарадея, можно сформулировать следующим образом: сила индукционного тока пропорциональна скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром.

Электрический ток в цепи появляется в том случае, когда на свободные заряды действуют сторонние силы. Работу этих сил при перемещении единичного положительного заряда вдоль замкнутого контура называют ЭДС. Следовательно, при изменении магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром, в нём появляются сторонние силы, действие которых характеризуется ЭДС индукции _i.

Сформулируем закон электромагнитной индукции.

Как в законе электромагнитной индукции учесть направление индукционного тока (или знак ЭДС индукции) в соответствии с правилом Ленца? На рисунке 4.10 изображён замкнутый контур.

Будем считать положительным направление обхода контура против часовой стрелки. Нормаль к контуру образует правый винт с направлением обхода. Знак ЭДС зависит от направления сторонних сил по отношению к направлению обхода контура. Если эти направления совпадают, _i > 0 и соответственно I_i > 0. В противном случае ЭДС индукции и сила индукционного тока отрицательны.

Пусть вектор индукции внешнего магнитного поля направлен вдоль нормали к контуру и возрастает со временем. Тогда ΔΦ > 0 и ΔΦ / Δt > 0. Согласно правилу Ленца, индукционный ток создаёт магнитный поток Ф' < 0. Линии индукции ' магнитного поля индукционного тока направлены противоположно . Следовательно, индукционный ток I_i направлен по часовой стрелке (против положительного направления обхода) и ЭДС индукции отрицательна. Поэтому в математической записи закона электромагнитной индукции обычно ставят знак «минус»:

Единицы магнитной индукции и магнитного потока.

В СИ закон электромагнитной индукции используют для установления единицы магнитного потока. Так как ЭДС индукции _i. выражают в вольтах, а время — в секундах, то, согласно закону электромагнитной индукции, вебер можно определить следующим образом: магнитный поток через поверхность, ограниченную замкнутым контуром, равен 1 Вб, если при равномерном убывании этого потока до нуля за 1c в контуре возникает ЭДС индукции, равная 1 В.

1Bб = 1B∙1с.

Единицу магнитной индукции — тесла (см. § 16 "Индукция магнитного поля") устанавливают на основе соотношения Ф = BScos α. Если вектор однородного магнитного поля перпендикулярен поверхности площадью S, то Φ_max = BS. Тесла равна магнитной индукции, при которой максимальный магнитный поток через поперечное сечение площадью 1 м² равен 1 Вб.

Вихревое электрическое поле.

Пусть у нас имеются две обмотки (катушки), надетые на сердечник. Включив одну обмотку в сеть, мы получим ток в другой обмотке, если она замкнута (рис. 4.11).

Электроны в проводах второй обмотки придут в движение. Но какие силы заставляют их двигаться? Само магнитное поле, пронизывающее катушку, этого сделать не может, так как магнитное поле действует исключительно на движущиеся заряды, а проводник с находящимися внутри него электронами неподвижен.

Электроны в неподвижном проводнике приводятся в движение электрическим полем, и это поле непосредственно порождается переменным магнитным полем. Тем самым утверждается новое фундаментальное свойство электромагнитного поля: изменяясь во времени, магнитное поле порождает электрическое поле (к этому выводу пришёл Максвелл). Тогда сущность явления электромагнитной индукции в неподвижном проводнике состоит не столько в появлении индукционного тока, сколько в возникновении электрического поля, которое приводит в движение электрические заряды.

Электрическое поле, возникающее при изменении магнитного поля, не связано непосредственно с зарядами, и его линии напряжённости не могут на них начинаться и кончаться. Они нигде не начинаются и не кончаются, а представляют собой замкнутые линии, подобные линиям индукции магнитного поля. Такое электрическое поле называют вихревым.

Почему это поле называется электрическим, ведь оно имеет иное происхождение и другую конфигурацию, чем электростатическое поле? Ответ прост: вихревое поле действует на заряд q так же, как и электростатическое, а это считается главным свойством поля. Сила, действующая на заряд, по-прежнему равна = q, где — напряжённость вихревого поля.

В отличие от электростатического поля, работа вихревого поля по замкнутому контуру не равна нулю. Ведь при перемещении заряда вдоль замкнутой линии напряжённости электрического поля работа на всех участках контура имеет один и тот же знак, так как сила и перемещение совпадают по направлению.

Вихревое электрическое поле, так же как и магнитное поле, не потенциальное. Работа вихревого электрического поля по перемещению единичного положительного заряда вдоль замкнутого неподвижного про водника численно равна ЭДС индукции в этом проводнике.

ЭДС индукции в движущемся проводнике.

При движении проводника его свободные заряды движутся вместе с ним. Поэтому на заряды со стороны магнитного поля действует магнитная составляющая силы Лоренца, которая и вызывает перемещение зарядов внутри проводника. ЭДС индукции, следовательно, имеет «магнитное происхождение». Вычислим ЭДС индукции в прямоугольном контуре, помещённом в однородное магнитное поле (рис. 4.12).

Пусть сторона контура MN длиной l скользит с постоянной скоростью вдоль сторон NC и MD, оставаясь всё время параллельной стороне CD. Вектор магнитной индукции однородного поля перпендикулярен проводнику MN и составляет угол α с вектором скорости . Магнитная составляющая силы Лоренца, с которой магнитное поле действует на движущуюся заряженную частицу, равна

F_л = qυBsin α.

Согласно правилу левой руки, магнитная составляющая силы Лоренца направлена вдоль проводника MN.

Работа этой силы при перемещении заряда вдоль проводника от M к N

A_л = F_л l cos 0° = qυBsin α.

ЭДС индукции в проводнике MN равна

Эта формула справедлива для любого проводника длиной l, движущегося со скоростью в однородном магнитном поле. В других проводниках контура ЭДС равна нулю, так как проводники неподвижны.

ЭДС индукции можно вычислить с помощью закона электромагнитной индукции. Действительно, магнитный поток через контур MNCD равен

Ф = BScos (90° - α) = BSsin α,

где угол 90°, - α — угол между вектором и нормалью к плоскости контура; S — площадь контура MNCD. Если считать, что в начальный момент времени (t = 0) проводник MN находился на расстоянии NC от проводника CD (см. рис. 4.12), то при перемещении проводника площадь S изменяется со временем следующим образом:

S = l(NC - υt).

 

За время Δt площадь контура изменяется на ΔS = -lυΔt. Знак «минус» указывает на то, что она уменьшается. Изменение магнитного потока за время Δt равно ΔФ = -BlυΔtsin α. Следовательно,

(как это и было получено ранее).

Вопросы:

1. Как связаны между собой сила индукционного тока и скорость изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром?

2. Запишите и сформулируйте закон электромагнитной индукции.

3. Почему в математической записи закона электромагнитной индукции стоит знак «минус»?

4. Укажите основные свойства вихревого электрического поля.

5. Почему в проводнике, движущемся в магнитном ноле, появляется ЭДС индукции?

Вопросы для обсуждения:

1. Между любыми двумя точками некоторого контура разность потенциалов равна нулю, а ток в контуре существует. Когда это возможно?

2. При каких положениях рамки, вращающейся с постоянной скоростью около прямолинейного проводника с током, возникающая в ней ЭДС будет:

а) максимальной;

б) минимальной?

3. Два одинаковых самолёта летят горизонтально с одинаковыми скоростями (один — вблизи экватора, другой — у полюса). У какого самолёта возникнет большая разность потенциалов на концах крыльев?

Пример решения задачи

Задача 1.

Виток медного провода помещён в изменяющееся во времени однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции (рис. 4.13).

Радиус витка равен 10 см, диаметр провода — 2 мм.

Определите скорость изменения магнитной индукции, если сила индукционного тока в витке составляет 5 A.

Удельное сопротивление меди равно l,7∙10 ^-8 Ом • М.

Задача 2.

На двух горизонтальных рельсах, расстояние между которыми равно 1 м, лежит проводник с сопротивлением 1 Ом и массой 0,5 кг. Коэффициент трения проводника о рельсы равен 0,1. Вся система находится в однородном магнитном поле с индукцией 0,1 Тл, вектор которой направлен вертикально. Рельсы подключают к источнику тока с ЭДС, равной 10 В. Пренебрегая внутренним сопротивлением источника тока и сопротивлением рельсов, определите установившуюся скорость движения проводника.

Поскольку F_АО > F_ТР, после замыкания цепи проводник придёт в движение.

При движении проводника магнитный поток через контур ACKD увеличивается (рис. 4.14, б), и в контуре возникает ЭДС индукции _i = Bυl, направленная навстречу ЭДС источника.

По закону Ома для полной цепи

По мере увеличения модуля скорости проводника сила тока I уменьшается, а значит, уменьшается и модуль силы Ампера F_А = IBl. В результате устанавливается движение проводника с постоянной скоростью, при котором сила Ампера и сила трения уравновешивают друг друга, т. е. F_Ау = F_ТР.

Поскольку в установившемся режиме

Подставляя числовые данные, найдём:

Ответ: υ_у = 50 м/с.

Упражнения:

1. В витке, выполненном из алюминиевого провода длиной 10 см и площадью поперечного сечения 1,4 мм², скорость изменения магнитного потока равна 10 мВб/с. Найдите силу индукционного тока.

2. Квадратная рамка, сделанная из медной проволоки, со стороной 6,8 мм и площадью поперечного сечения 1 мм², помещена в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. Индукция магнитного поля равномерно изменяется на 2 Тл за 0,1 с. Определите силу индукционного тока.

3. Какой по модулю заряд пройдёт через поперечное сечение витка, сопротивление которого 0,03 Ом, при уменьшении магнитного потока внутри витка на 12 мВб?

4. Найдите ЭДС индукции в проводнике с длиной активной части 0,25 м, перемещающемся в однородном магнитном поле с индукцией 8 мТл со скоростью 5 м/с под углом 30° к вектору магнитной индукции.

5. Перпендикулярно линиям магнитной индукции перемещается проводник длиной 1,8 м со скоростью 6 м/с. ЭДС индукции в проводнике равна 1,44 В. Найдите модуль индукции магнитного поля.

6. Прямолинейный проводник с длиной активной части 0,7 м пересекает однородное магнитное поле под углом 30° со скоростью 10 м/с. Определите модуль индукции магнитного поля, если ЭДС, индуцируемая в проводнике, равна 4,9 В.

7. C какой скоростью нужно перемещать проводник, длина активной части которого 1 м, под углом 60° к линиям индукции магнитного поля, чтобы в проводнике возникла ЭДС индукции 1 В? Модуль вектора магнитной индукции магнитного поля равен 0,2 Тл.

8. Прямой проводник движется со скоростью 36 км/ч под углом 45° к линиям индукции однородного магнитного поля. Модуль вектора магнитной индукции магнитного поля равен 0,2 Тл. Определите длину проводника, если в нём индуцируется ЭДС, равная 1,4 В.