11 класс
§ 25. Кинематика колебательного движения. Гармонические колебания
Связь колебательного движения c равномерным движением по окружности.
Прикрепим к равномерно вращающемуся диску небольшой шарик на стержне и осветим его сбоку. При вращении диска тень шарика будет совершать колебания на стене вдоль одной прямой. В данном случае положение колеблющейся точки (тени шарика) определяется единственной координатой х. Установим, какой вид имеет функция х(t), задающая закон движения точки.
На рисунке 5.4 буквами О, О1, О2 и т. д. обозначены различные положения шарика, а буквами P0, P1, P2 и т. д. — положения его тени на стене MN. Точки P0, P1, P2 и т. д. являются ортогональными проекциями точек О, О1, О2 и т. д. окружности на прямую MN.
В некоторый момент времени величина отклонения колеблющейся точки от положения равновесия по оси х будет равна х = P0Pl = BO1. Наибольшую величину отклонения точки обозначим через хm:
Xm = P0P2 = OO2 = OO1
Из треугольника OBO1 следует, что BO1 = OO1 sin φ.
Таким образом,
x = хm sin φ (1)
В выражение (1) входит величина φ. При описании вращательного движения φ — угол, характеризующий угловое перемещение шарика за время t, прошедшее с момента прохождения им начального нулевого положения.
φ = φ0 + ωt, (2)
где ω = 2π / T - угловая скорость; φ0 — начальный угол.
C учётом этого можно записать:
φ = φ0 + 2π / T
Для случая φoβO по формуле (1) определим положение колеблющейся точки в любой момент времени:
х = xm sin ωt. (3)
График зависимости координаты колеблющейся точки от времени, согласно уравнению (3), представляет собой синусоиду (рис. 5.5).
Гармонические колебания.
Проекция точки, равномерно вращающейся по окружности, совершает простейший вид колебательного движения, называемый гармоническими колебаниями.
При гармонических колебаниях величина x изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса.
x(t) = xm sin (ωt + φ0). (4)
Обсудим смысл величин, входящих в закон гармонических колебаний (4). Величину х, характеризующую отклонение колеблющейся точки от положения равновесия, называют смещением. Положительная величина xm — это модуль наибольшего смещения от положения равновесия (в силу того что наибольшее значение модуля синуса равно единице). Её называют амплитудой колебаний. Аргумент синуса φ = ωt + φ0 в законе (4) называют фазой колебаний.
Фаза колебаний выражается в угловых единицах — радианах или градусах. При заданной амплитуде фаза определяет состояние колебательной системы в любой момент времени.
В начальный момент времени t = 0 фаза φ = ωt + φ0 имеет значение φ0. Его называют начальной фазой колебаний.
В данное выражение входит величина ω — циклическая (круговая) частота гармонических колебаний, равная 2π / T. Циклическая частота равна числу колебаний тела, совершаемых за 2π секунд. В СИ единицей циклической частоты является радиан в секунду, или с-1.
Циклическую частоту можно было бы не вводить, а использовать только частоту колебаний ν. Однако в этом случае пришлось бы в формулы, характеризующие колебательные процессы, вводить множитель 2π, что неудобно при проведении расчётов. В дальнейшем мы будем называть циклическую частоту просто частотой. Частоту свободных колебаний называют также собственной частотой колебательной системы.
Скорость и ускорение тела при гармонических колебаниях.
Определим зависимости от времени проекций скорости и ускорения тела (точки), гармонически колеблющегося вдоль оси x но закону (4).
Проекция скорости гармонически колеблющейся точки на ось X представляет собой производную координаты по времени:
υx(t) = x'(t) = xмωcos (ωt + φ0).
Амплитуда скорости υxm = xмω.
Проекция ускорения рассматриваемой точки на ось X — это производная по времени проекции её скорости на эту ось (или вторая производная координаты х но времени).
αx(t) = x''(t) = υ'(t) = - xмω2sin (ωt + φ0).
Амплитуда ускорения αxm = -xмω2.
Сопоставив выражения для координаты и проекции ускорения, можно установить, что проекция ускорения отличается от координаты только множителем - ω2:
αx = - ω2x. (5)
Это соотношение называют уравнением гармонических колебаний.
Графики зависимостей х(t), υx(t), αx(t) приведены на рисунке 5.6. Видно, что координата, скорость и ускорение точки, колеблющейся по гармоническому закону, принимают максимальные и минимальные значения в различные моменты времени. Это означает, что эти характеристики колебательного движения имеют различные фазы.
Из приведённых графиков следует, что колебания координаты отстают от колебаний проекций скорости на четверть периода, а график проекции скорости отстаёт от колебаний проекции ускорения на четверть периода. Амплитуды этих функций различны, и фазы колебаний тоже. Изменение времени колебаний на четверть периода соответствует изменению фазы на π / 2.
Из графиков колебаний можно сделать выводы: при гармонических колебаниях точки вдоль оси X колебания проекции скорости опережают колебания координаты по фазе на π / 2. При этом колебание проекции ускорения опережают колебания координаты по фазе на π.
Вопросы:
1. Какую физическую величину называют:
а) смещением;
б) амплитудой колебаний;
в) фазой колебаний;
г) начальной фазой колебаний;
д) циклической частотой?
2. Какие колебания являются гармоническими? При каких условиях они возникают в колебательной системе?
3. Запишите закон гармонических колебаний.
4. Используя рисунок 5.6, запишите зависимость:
а) координаты;
б) проекции скорости;
в) проекции ускорения гармонически колеблющейся точки от времени.
Вопросы для обсуждения:
1. По какой траектории будет двигаться шарик математического маятника, если его нить пережечь в момент, когда он достигнет максимального отклонения от положения равновесия?
2. В каких точках траектории шарик, совершающий гармонические колебания по закону синуса, будет обладать максимальной скоростью, а в каких — максимальным ускорением?
Пример решения задачи
Движение гармонически колеблющегося тела задано законом x(t) = 0,4cos 5πt (м). Определите амплитуду колебаний, период колебаний, амплитуду скорости, амплитуду ускорения и смещение точки от положения равновесия при t1 = 0,1 с.
Упражнения:
1. Амплитуда колебаний гармонически колеблющейся точки струны равна 1 мм, частота колебаний — 1 кГц. Какой путь пройдёт точка за 0,2 с?
2. Чему равна амплитуда, частота и период колебаний, если координата колеблющегося тела изменяется по закону:
a) x(t) = = 5cos (2π / 3)t (м);
б) x(t) = 0,1sin πt (м);
в) x(t) = cos 628t (м)?
3. Напишите закон гармонических колебаний груза, если амплитуда его колебаний равна 0,1 м, а частота колебаний — 0,2 Гц.
4. Напишите закон гармонических колебаний, если за 1 мин совершается 60 колебаний. Амплитуда колебаний равна 8 см.
5. По графикам, приведённым на рисунке 5.7, найдите амплитуду, период и частоту колебаний. Запишите для каждого графика уравнение зависимости координаты от времени x(t), проекции скорости от времени υx(t) и проекции ускорения от времени αx(t).
