Главная | Физика 11 класс | Динамика колебательного движения

11 класс

§ 26. Динамика колебательного движения

Уравнение движения груза на пружине.

Чтобы описать свободные колебания тела, например груза на пружине или шарика на нити, количественно, т. е. получить уравнение движения, нужно воспользоваться законами механики Ньютона. В этом заключается динамический подход к решению задачи о колебаниях системы.

Получим уравнение движения груза на пружине. На груз действует сила упругости _упр и сила тяжести = m. Действием сил трения в колебательной системе пренебрежём. Направим ось X вертикально вниз (рис. 5.8). Начало отсчёта (точку О) выберем на уровне положения равновесия. В этом положении пружина растянута на величину х₀, значение которой определяется из закона Гука: kх₀ = mg. Отсюда

Проекция силы упругости

где х — координата груза относительно положения равновесия. Величина x₀ + х представляет собой удлинение пружины (см. рис. 5.8).

Рис. 5.8

Запишем уравнение движения груза:

Подставляя в уравнение (2) значение x₀ из выражения (1), получим

Уравнение движения (3) не содержит силы тяжести. Она, действуя на груз, вызывает растяжение пружины на постоянную величину. Но это не влияет на характер движения груза. Колебания происходят относительно положения равновесия тела при растянутой на x₀ пружине. В отсутствие тяготения уравнение (3) имело бы такую же форму, но только колебания происходили бы относительно конца нерастянутой пружины. Наличие силы тяжести несущественно для колебаний груза на пружине, в отличие от колебаний математического маятника.

Масса m и жёсткость пружины k — постоянные величины. Разделив левую и правую части уравнения (3) на m, запишем:

Это уравнение движения груза на пружине.

Проекция α_х ускорения груза прямо пропорциональна его смещению от положения равновесия х, взятому с противоположным знаком.

Уравнение движения математического маятника.

Рассмотрим свободные колебания математического маятника. Будем считать, что силы трения в системе пренебрежимо малы.

Если отклонить маятник из положения равновесия на малый угол и отпустить, то сила тяжести _т и сила упругости нити _упр будут направлены под углом друг к другу, и они не уравновешиваются (рис. 5.9, а).

Рис. 5.9

Разложим силу тяжести на две составляющие: силу _n, направленную вдоль нити, и силу _τ направленную по касательной к траектории движения шарика.

Векторы силы упругости нити _упр и нормальной составляющей силы тяжести _n перпендикулярны вектору скорости движения шарика. Они сообщают ему нормальное (центростремительное) ускорение. Действие этих сил не изменяет модуля скорости движения шарика, а приводит лишь к изменению направления его скорости. Вектор скорости непрерывно поворачивается, так что в любой момент времени скорость направлена по касательной к дуге окружности — траектории маятника. Под действием составляющей ¹ силы тяжести _τ маятник будет двигаться к положению равновесия с нарастающей по модулю скоростью. В положении равновесия составляющая _τ равна нулю, а скорость достигает максимального значения, и маятник движется дальше, поднимаясь в крайнее левое положение — в точку В. Под действием возвращающей силы маятник снова будет двигаться к положению равновесия. Тем самым он будет совершать колебательное движение.

¹ Эту составляющую силы тяжести называют тангенциальной. Тангенциальная составляющая _τ силы тяжести создаёт тангенциальное ускорение, характеризующее изменение скорости по модулю.

Найдём проекцию на направление касательной силы тяжести _т в момент времени, когда нить маятника отклонена от положения равновесия на угол α (см. рис. 5.9, б):

_тx = _τx = -mgsin α.

Если обозначить через х смещение маятника от положения равновесия по дуге окружности радиусом l, то угол отклонения маятника α = х / l. Второй закон Ньютона, записанный в проекциях на направление касательной, даёт:

В том случае, если углы отклонения нити от вертикали являются малыми, sin х / l можно приближённо заменить на х / l. Тогда

Это уравнение движения математического маятника.

Проекция ускорения математического маятника прямо пропорциональна смещению маятника от положения равновесия, взятому с противоположным знаком.

Мы пришли к важному выводу: уравнения движения, описывающие колебания таких различных систем, как груз на пружине и математический маятник, одинаковы. Кроме того, согласно уравнению α_x = - ω²x (см. § 25 "Кинематика колебательного движения. Гармонические колебания"), малые колебания и пружинного, и математического маятников являются гармоническими с собственными частотами:

для пружинного маятника и

для математического маятника.

Если воспользоваться формулами (6) и (7), а также выражением T = 2π / ω,то можно записать:

— период колебаний пружинного маятника;

— период колебаний математического маятника.

Собственная частота колебаний груза на пружине определена согласно выражению (6). Она тем больше, чем больше жёсткость пружины, и тем меньше, чем больше масса тела. Это понятно: более жёсткая пружина сообщает телу большее ускорение, т. е. быстрее меняет его скорость и, следовательно, уменьшает время одного колебания. А чем массивнее тело, тем медленнее оно изменяет скорость под действием данной силы.

Собственная частота колебаний математического маятника [см. формулу (7)] при малых углах отклонения нити от вертикали зависит от длины нити и ускорения свободного падения. Период колебаний такого маятника возрастает с увеличением длины его нити, но при этом он не зависит от массы маятника и амплитуды колебаний.

Зависимость периода колебаний математического маятника от ускорения свободного падения можно обнаружить экспериментально. Чем меньше ускорение свободного падения, тем больше период колебаний маятника и, следовательно, тем медленнее идут часы с маятником. Так, часы с маятником в виде груза на стержне отстанут в сутки почти на 7 с, если их поднять на вершину Останкинской телебашни (высота 500 м ²).

² Точное значение высоты Останкинской телебашни составляет 540,1 м. Но в данном расчёте удобно использовать её приближённое значение.

Вопросы:

1. Какая сила вызывает свободные колебания:

а) пружинного маятника;

б) математического маятника?

2. Запишите формулу определения периода колебаний:

а) математического маятника;

б) пружинного маятника.

3. Почему собственная частота колебаний груза на пружине тем больше, чем больше жёсткость пружины?

4. Как изменится (уменьшится или увеличится) период колебаний математического маятника, если уменьшить длину его нити?

5. Зависит ли период колебаний математического маятника от массы груза?

Вопросы для обсуждения:

1. Точное значение высоты Останкинской телебашни составляет 540,1 м. Но в данном расчёте удобно использовать её приближённое значение.

2. Как будет изменяться период колебаний ведра с водой, подвешенном на длинном шнуре, если из отверстия в его дне постепенно будет вытекать вода?

3. Допустим, нам известен период колебаний одного из двух маятников разной длины. Как, не используя секундомер и линейку, определить период колебаний другого маятника?

Пример решения задачи

За одно и то же время один математический маятник совершил 50 полных колебаний, а другой маятник — 30. Найдите их длины, если один из них короче другого на 32 см.