11 класс
§ 27. Превращение энергии при гармонических колебаниях. Затухающие колебания
Превращение энергии при гармонических колебаниях.
При механических колебаниях пружинного и математического маятников происходят изменения кинетической и потенциальной энергий.
Рассмотрим свободные колебания пружинного маятника (силами трения в системе пренебрежём). Оттянув груз, подвешенный на пружине, вниз, мы сообщаем грузу некоторый запас потенциальной энергии. При движении груза вверх пружина сокращается и потенциальная энергия системы уменьшается. Но одновременно увеличивается кинетическая энергия груза. В момент прохождения грузом положения равновесия потенциальная энергия системы становится минимальной. Кинетическая же энергия груза достигает максимального значения (рис. 5.10).
После прохождения положения равновесия скорость движения груза начинает уменьшаться. Следовательно, уменьшается и его кинетическая энергия, а потенциальная энергия системы снова возрастает. В самой верхней точке она достигает максимума, а кинетическая энергия груза становится равной нулю.
Таким образом, при гармонических колебаниях периодически происходит переход потенциальной энергии в кинетическую энергию и обратно. При этом частота колебаний потенциальной и кинетической энергий в 2 раза больше частоты колебаний груза.
Полный период колебаний кинетической и потенциальной энергий вдвое меньше периода колебаний груза. Кроме того, в момент обращения в нуль одной из энергий другая энергия достигает максимального значения. Именно эта особенность и обеспечивает возможность колебаний в системе.
Механическая энергия при отсутствии трения в колебательной системе остаётся постоянной (см. рис. 5.10). При колебаниях груза на пружине она равна сумме кинетической и потенциальной энергий:
Кинетическая и потенциальная энергии периодически изменяются, но механическая энергия в системе без трения, согласно закону сохранения энергии, остаётся неизменной (сохраняется). Она равна либо потенциальной энергии системы в момент максимального отклонения маятника от положения равновесия, либо кинетической энергии груза в момент, когда он проходит положение равновесия.
Докажем это. Подставим в формулу для механической энергии выражения для υx и x, полученные в § 25 "Кинематика колебательного движения. Гармонические колебания":
Заменив в первом члене последнего уравнения ω2 на ω2 = k / m, получим
Если же во второй член уравнения (2) подставить k = mω2 и учесть, что ωxm = υm, то
Такие же изменения кинетической и потенциальной энергий происходят при гармонических колебаниях математического маятника.
Затухающие колебания.
В природе не существует колебательных систем, в которых бы не было трения. Силы трения совершают отрицательную работу и уменьшают механическую энергию системы. Поэтому амплитуда колебаний с каждым периодом уменьшается. В итоге после того, как запас механической энергии исчерпается, колебания прекратятся совсем. Другими словами, колебания при наличии трения являются затухающими. Только в пределах небольшого интервала времени уменьшением амплитуды колебаний можно пренебречь и считать (приближённо) колебания незатухающими.
В реальных колебательных системах обязательно происходят потери энергии. Если произвести графическую запись колебаний реальной колебательной системы, то она окажется подобной той, что изображена на рисунке 5.11.
Эту зависимость координаты тела от времени можно заставить «вычерчивать» само колеблющееся тело, например маятник.
На рисунке 5.12 изображён маятник с песочницей.
На равномерно движущемся листе картона он струйкой песка вычерчивает график зависимости координаты от времени. Данный метод «временной развёртки» колебаний позволяет получить представление о процессе движения. Чем быстрее движется лист картона, тем большими оказываются расстояния между соседними максимумами смещения.
C увеличением силы трения колебания затухают быстрее. При большом трении они не возникают совсем. Тело, выведенное из положения равновесия, останавливается, не переходя через положение равновесия (рис. 5.13). Всё это можно наблюдать, постепенно увеличивая трение маятника с песочницей, прикрепляя к нитям подвеса листы плотной бумаги всё большей площади поверхности (сопротивление воздуха зависит от площади листа).
При трении механическая энергия колебательной системы будет постепенно расходоваться на нагревание окружающей среды, именно поэтому амплитуда колебаний будет убывать с течением времени. Трение приводит к торможению колебаний в системе, поэтому следует ожидать и некоторого уменьшения частоты колебаний. При затухающих колебаниях движение является непериодическим. Соответственно понятие периода колебаний утрачивает свой непосредственный смысл.
Вопросы:
1. Как изменяются с течением времени кинетическая и потенциальная энергии пружинного маятника при гармонических колебаниях?
2. Изменяется ли механическая энергия колебательной системы при гармонических колебаниях?
3. Как влияют силы трения, действующие в колебательной системе, на её механическую энергию и амплитуду колебаний?
4. Что является причиной затухания свободных колебаний в колебательной системе?
Вопросы для обсуждения:
1. Изобразите и проанализируйте графики зависимости от времени кинетической энергии, потенциальной энергии и механической энергии математического маятника, совершающего гармонические колебания.
2. Шарик, закреплённый на упругой пружине жёсткостью k, совершает свободные колебания с амплитудой, равной хm. Чему равна кинетическая энергия шарика в момент прохождения им положения равновесия?
3. Шарик колеблется на пружине, подвешенной вертикально к потолку. При этом максимальное расстояние от потолка до центра шарика равно Н, минимальное расстояние — h. Какая энергия будет максимальной в точке, удалённой от потолка на расстояние Н?
Пример решения задачи
Груз массой 470 г совершает горизонтальные колебания с амплитудой 4,2 см на упругой пружине с жёсткостью, равной 56 Н/м.
Найдите:
а) механическую энергию системы;
б) потенциальную энергию системы в точке с координатой 2,1 см;
в) кинетическую энергию груза в этой точке;
г) скорость прохождения грузом этой точки.
Ответ:
E ≈ 0,049 Дж;
Ep(x2) ≈ 0,012 Дж;
Ek(x2) = 0,037 Дж;
υ2 ≈ 0,4 м/с.
Упражнения:
1. На рисунке 5.14 представлен график зависимости потенциальной энергии математического маятника (относительно его положения равновесия) от времени. Чему будет равна кинетическая энергия маятника в момент времени t = 2 с?
2. Груз массой 400 г совершает колебания на пружине с жёсткостью 250 Н/м. Амплитуда колебаний 15 см. Найдите полную механическую энергию и частоту колебаний груза.
3. C какой скоростью колеблющееся тело, подвешенное на пружине, проходит положение равновесия, если масса тела равна 1 кг, жёсткость пружины — 100 Н/м, а амплитуда колебаний — 0,5 м?
4. Тело массой 5 кг совершает гармонические колебания с амплитудой 10 см. Максимальная кинетическая энергия тела равна 2,5 Дж. Найдите период колебаний.
5. Чему равна масса груза, колеблющегося на пружине с жёсткостью 0,5 кН/м, если при амплитуде колебаний 6 см он имеет максимальную скорость, равную 53 м/с?
Это любопытно...
Из истории развития физики и техники
В 1851 г. французский физик Жан Бернар Леон Фуко (1819 — 1868) провёл в здании Пантеона в Париже (усыпальница выдающихся людей Франции) опыт, который наглядно продемонстрировал факт суточного вращения Земли (рис. 5.15).
К куполу Пантеона была прикреплена стальная проволока длиной 67 м, а к ней был подвешен массивный металлический шар. По разным источникам, масса шара составляла от 25 до 28 кг.
Проволока крепилась к куполу таким образом, чтобы получившийся маятник мог качаться в любой плоскости. При этом на груз маятника действовали сила тяжести, направленная вертикально вниз, и сила натяжения проволоки, направленная вдоль проволоки вверх. Таким образом, равнодействующая сил, действующих на маятник, лежала в вертикальной плоскости, проходящей через проволоку, т. е. в плоскости качаний маятника.
Маятник совершал колебания над круглым постаментом диаметром 6 м, по краю которого был насыпан валик из песка. При каждом качании маятника острый стержень, укреплённый на шаре снизу, оставлял на валике отметку, сметая с ограждения песок. Для того чтобы исключить влияние подвеса на маятник Фуко, применялись специальные подвесы. При запуске маятника принимались меры для устранения толчков в направлении, перпендикулярном к начальной плоскости качаний. Период колебаний маятника в опыте Фуко составлял примерно 16,4 с. По прошествии каждого периода колебаний новая отметка, наносимая остриём стержня на песке, оказывалась примерно в 3 мм от предыдущей. За первый час наблюдений плоскость качаний маятника повернулась на угол около 11° по часовой стрелке. Полный же оборот плоскость маятника совершила примерно за 32 ч, после чего вернулась в прежнее положение.
В России маятник Фуко длиной 98 м был установлен в Исаакиевском соборе в Ленинграде (в 1986 г. маятник был демонтирован). Обычно показывался такой удивительный эксперимент — на полу устанавливался спичечный коробок чуть поодаль от плоскости вращения маятника. Пока гид рассказывал о маятнике, плоскость его вращения поворачивалась и стержень, укреплённый на шаре, сбивал коробок.
