11 класс
§ 28. Вынужденные колебания. Резонанс
Вынужденные колебания.
Наиболее простой способ возбуждения незатухающих колебаний состоит в том, что на колебательную систему действует внешняя периодически изменяющаяся сила. Колебания под действием такой силы называют вынужденными.
Работа вынужденной силы над системой обеспечивает приток энергии к системе извне, который и не даёт колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения.
Исследования физических явлений опытным путём
Рассмотрим вместо маятника груз, подвешенный на пружине. Но теперь верхний конец пружины будет прикреплён к «колену» изогнутой оси (рис. 5.16).
Если вращать ось с помощью рукоятки, то на груз, прикреплённый к пружине, начнёт действовать периодически изменяющаяся внешняя сила. Ещё лучше вращать ось с помощью электродвигателя. Это обеспечит большую стабильность частоты внешней силы.
Груз начнёт раскачиваться, амплитуда его колебаний будет увеличиваться. Спустя некоторое время колебания приобретут установившийся характер: их амплитуда со временем перестанет изменяться. При этом можно обнаружить, что частота колебаний груза будет в точности равна частоте колебаний точки подвеса пружины, т. е. частоте изменения внешней силы.
Установившиеся вынужденные колебания происходят с частотой ω и амплитудой хm по гармоническому закону:
х - xmcos (ωt + φc),
где φc — разность (сдвиг) фаз между колебаниями координаты и внешней силы.
Внешне вынужденные установившиеся колебания выглядят так же, как и свободные колебания в системе без трения. Но если при свободных колебаниях амплитуда хm и начальная фаза φ0 определяются начальными условиями, то при вынужденных колебаниях хm и φc определяются параметрами самой системы и внешней силой.
Выясним, от чего и как зависят амплитуда хm вынужденных колебаний и сдвиг фаз φc. Для этого запишем и исследуем уравнение движения для вынужденных колебаний.
Пусть на колебательную систему (груз на пружине) действует внешняя периодически изменяющаяся сила Fx = Fmcos ωt. Кроме того, на груз маятника действует сила упругости (Fупр)x = -kx и сила сопротивления, пропорциональная скорости 1: (Fc)x = -k1υx, где kl — коэффициент сопротивления.
1 При малых скоростях движения тела силу сопротивления можно считать пропорциональной скорости.
Тогда уравнение движения запишется следующим образом:
mαx = -kx - k1υx + Fmcos ωt.
Перенеся в левую часть уравнения все силы, кроме внешней, получим
mαx + k1υx + kx = Fmcos ωt.
Разделим правую и левую части данного уравнения на т и обозначим собственную частоту системы через 
:
Если частота ω внешней периодической силы много меньше частоты собственных колебаний системы (ω ≪ ω0), происходит почти то же самое, что и при действии на пружину постоянной силы. Согласно закону Гука, смещение увеличивается пропорционально внешней силе, и в любой момент времени внешняя сила почти точно уравновешивается силой упругости пружины. C энергетической точки зрения условия для перекачки энергии в колебательную систему от внешних тел, действующих на систему с периодической силой, в данном случае неблагоприятны.
Рассмотрим случай, при котором ω » ω0. Амплитуда колебаний будет мала. Внешняя сила столь быстро меняет направление, что груз на пружине, обладающий инертностью, не успевает заметно сдвинуться относительно положения равновесия. Половину периода внешняя сила совершает положительную работу, а другую половину — отрицательную. Половину периода сила и перемещение направлены в одну сторону, а другую его половину — в противоположные стороны. Энергия опять почти не поступает в систему.
Резонанс.
Самый интересный случай вынужденных колебаний наблюдается при совпадении частоты колебаний внешней периодически изменяющейся силы с собственной частотой колебаний системы (ω ≈ ω0).
C учётом этого первый член уравнения (1) можно записать так (см. § 25 "Кинематика колебательного движения. Гармонические колебания"): αx = - ω2 0 x.
Он взаимно уничтожается с третьим членом данного уравнения, равным ω2 0 . Эти два члена в любой момент времени одинаковы по модулю, но имеют противоположные знаки, так как ускорение и координата при любом гармоническом колебании сдвинуты по фазе на π. В результате уравнение (1) принимает вид
k1υx = Fmcos ωt. (2)
При ω ≈ ω0 в любой момент времени внешняя сила как бы исключает из игры силу сопротивления. В результате ускорение телу сообщается только силой упругости пружины. Гармонические колебания существуют в системе длительное время, несмотря на действие силы сопротивления. Из уравнения (2) видно, что при ω ≈ ω0 фаза колебаний скорости совпадает с фазой колебаний внешней силы. Работа внешней силы при этих условиях положительна в течение большей части периода 2.
2 Если собственная частота колебательной системы и частота внешней силы существенно различаются, то внешняя сила совершает положительную работу лишь в течение части периода, а в другой его части — отрицательную работу.
Тем самым создаются оптимальные условия для перекачки энергии от внешних тел к колебательной системе: положительная работа внешней силы равна по модулю отрицательной работе силы сопротивления. Из-за этого механическая энергия системы за счёт работы силы сопротивления переходит во внутреннюю энергию (пружина с грузом и окружающий воздух нагреваются).
Амплитуда колебаний при ω ≈ ω0 равна
При k1 → 0 xm → ∞, т. е. очевидно, что при ω ≈ ω0 амплитуда максимальна.
Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты изменения внешней силы, действующей на систему, с частотой свободных колебаний называют резонансом.
Явление резонанса можно наблюдать с помощью установки, изображённой на рисунке 5.16. Плавно увеличивая частоту внешней силы, мы заметим, что амплитуда колебаний растёт. Она достигает максимума, когда внешняя сила действует в такт со свободными колебаниями (ω ≈ ω0). При дальнейшем увеличении частоты амплитуда установившихся колебаний опять уменьшается (рис. 5.17).
Существенное влияние на резонанс оказывает сопротивление в системе. Если коэффициент сопротивления k1 имеет достаточно большое значение, то, согласно уравнению (2), резонансная амплитуда колебаний невелика. Чем меньше сила сопротивления, тем больше амплитуда установившихся вынужденных колебаний.
Изменение амплитуды колебаний в зависимости от частоты при различных коэффициентах сопротивления (k1 < k'1 < k''1 и одной и той же амплитуде внешней силы графически изображено на рисунке 5.18.
Кривой 1 соответствует минимальный коэффициент сопротивления, а кривой 3 — максимальный.
C одной стороны, явление резонанса может быть полезным, так как оно позволяет получать с помощью небольшой силы значительное увеличение амплитуды колебаний. C другой стороны, резонанс может оказаться вредным и даже опасным. Он может привести к разрушению колеблющихся конструкций. При работе двигателей нередко возникают периодические усилия, связанные с движением частей двигателя (например, поршней) или же с недостаточно точной центровкой их вращающихся деталей (например, валов). Если частота периодических усилий совпадает с частотой свободных колебаний, то возникает резонанс. Амплитуда колебаний может возрасти настолько, что возможна поломка машин. Во всех этих случаях принимаются специальные меры, чтобы не допустить наступления резонанса или ослабить его действие. Для этого увеличивают затухание в системе или же добиваются того, чтобы собственные частоты колебаний не совпадали с частотой внешней силы.
Автоколебания.
Колебания в системе могут быть незатухающими и без действия внешней периодически изменяющейся силы. Если внутри системы, способной совершать свободные колебания, имеется источник энергии и система сама может регулировать поступление энергии к колеблющемуся телу для компенсации потерь на трение, то в ней могут возникнуть незатухающие колебания.
Примером системы такого типа являются часы с маятником и гирями. Система обладает определённым запасом энергии — потенциальной энергией гири, поднятой над Землёй, или энергией сжатой пружины. Гиря приводит во вращение храповое колесо с косыми зубцами (рис. 5.19).
C маятником скреплена дугообразная планка ab — анкер 1 с двумя выступами по краям. C помощью анкера маятник управляет вращением храпового колеса и связанной с ним стрелки часов. При этом энергия от гири порциями поступает к маятнику. В изображённом на рисунке положении зубец давит на скос выступа b анкера и толкает маятник влево.
1 Немецкое слово «анкер» означает «якорь».
После прохождения маятником положения равновесия выступ b соскальзывает с зубца, но почти сразу же анкер внешним скосом выступа а упирается в другой зубец храпового колеса, и маятник испытывает толчок в другую сторону. В результате дважды за период маятник получает энергию, сам открывая и закрывая доступ энергии от источника. Незатухающие колебания маятника происходят с частотой, почти точно равной частоте его свободных колебаний, если трение в системе мало. Именно поэтому часы обладают регулярным ходом.
Системы, подобные часам, в которых генерируются незатухающие колебания за счёт поступления энергии от источника, называют автоколебательными системами. Незатухающие колебания, которые могут существовать в системе без воздействия на неё внешних периодических сил, называются автоколебаниями.
Автоколебания отличаются от свободных колебаний тем, что, во-первых, они не затухают с течением времени и, во-вторых, их амплитуда не зависит от начального кратковременного воздействия («толчка»), которое возбуждает колебания. Частота и амплитуда автоколебаний определяются свойствами самой системы.
К автоколебательным системам относят также электрический звонок с прерывателем, органную трубу, свисток и многое другое. Наше сердце и лёгкие тоже можно рассматривать как автоколебательные системы.
Вопросы:
1. Какие колебания называют вынужденными?
2. Как записывается уравнение движения для вынужденных колебаний?
3. В чём состоит явление резонанса?
4. Почему при резонансе создаются оптимальные условия для перекачки энергии от внешних тел к системе?
5. Какое влияние оказывает сопротивление в системе на резонанс?
6. Какие колебания называют автоколебаниями? Чем они отличаются от свободных колебаний?
Вопросы для обсуждения:
1. Если длину математического маятника уменьшать, когда он проходит положение равновесия, и увеличивать в те моменты, когда его отклонение максимально, то амплитуда колебаний маятника начинает возрастать. Как это можно объяснить?
2. Почему при некоторой скорости движения оконные стёкла в пассажирском автобусе начинают дребезжать?
3. Для того чтобы отвести качели с сидящим на них человеком на больший угол, необходимо приложить значительную силу. Почему же раскачать качели до такого же угла отклонения можно с помощью значительно меньшего усилия?
Упражнения:
1. Груз массой 200 г на пружине с жёсткостью 100 Н/м совершает колебания, график которых представлен на рисунке 5.20.
Почему при этом уменьшается амплитуда колебаний?
Чему равна механическая энергия колебательной системы в начальный момент времени?
Через какое время эта энергия уменьшится в 4 раза?
2. На рисунке 5.21 приведена резонансная кривая для балки, на которой укреплён электродвигатель.
При какой частоте вращения ротора будут наблюдаться сильные колебания балки?
3. При какой скорости поезда возникает резонанс, если длина железнодорожного рельса между стыками равна 25 м, а период собственных колебаний вагона составляет 1,25 с?
