Меню сайта

11 класс

§ 32. Процессы при гармонических колебаниях в колебательном контуре

Гармонические колебания заряда, силы тока и напряжения.

Подобно тому как координата при механических колебаниях меняется по гармоническому закону, точно так же заряд конденсатора меняется по закону синуса или косинуса:

q = q_msin (ωt + φ₀) или q = q_m cos (ωt + φ₀),          (1)

где q_m — амплитуда колебаний заряда; φ₀ — начальная фаза колебаний.

Эти величины определяются начальными условиями, т. е. значениями заряда и силы тока в начальный момент времени: q(0) = q₀ и i(0) = i₀.

Если в начальный момент времени q(0) = q₀, а i(0) = 0, то колебания совершаются по косинусоидальному закону с нулевой начальной фазой φ₀ = 0 и амплитудой q_m = q₀:

q = q₀cos ωt.

Точно так же изменяется координата груза на пружине, если вывести груз из положения равновесия и не сообщать ему начальной скорости. Сила тока в контуре i = q' (q' — производная заряда по времени) также совершает гармонические колебания.

Если q = q_mcos (ωt + φ₀), то

i = q' = -q_mωsin (ω₀t + φ₀) = I_mcos (ωt + φ₀ + π/2),           (2)

где I_m = ωq_m — амплитуда колебаний силы тока.

Сопоставив уравнения (1) и (2), можно сделать вывод, что колебания силы тока опережают колебания заряда по фазе на π/2 (рис. 6.5).

Напряжение на обкладках конденсатора также изменяется по гармоническому закону:

где U_m = q_m / C — амплитуда колебаний напряжения на обкладках конденсатора.

Превращение энергии в колебательном контуре.

Как изменяются энергии электрического и магнитного полей в идеальном колебательном контуре? Для ответа на этот вопрос воспользуемся рисунком 6.6.

Поскольку потерь энергии в рассматриваемом контуре нет, энергия всей колебательной системы (контура) постоянно перераспределяется между конденсатором и катушкой.

Рассмотрим момент, когда заряд конденсатора максимален и равен q_m, а ток отсутствует. В данном случае энергия магнитного поля катушки в этот момент времени равна нулю. Вся энергия W контура сосредоточена в конденсаторе:

Теперь, наоборот, рассмотрим момент, когда ток максимален и равен I_m, а конденсатор полностью разряжен. Энергия электрического поля конденсатора в этот момент времени равна нулю. Вся энергия W контура запасена в катушке:

При отсутствии потерь на нагревание вещества и излучение электромагнитных волн максимальное значение энергии электрического поля конденсатора контура равно максимальному значению энергии магнитного поля катушки:

где U_m — максимальное значение напряжения на конденсаторе; I_m — максимальное значение силы тока в катушке. Согласно закону сохранения энергии, сумма мгновенных значений энергий электрического и магнитного полей в колебательном контуре в любой момент времени остаётся неизменной:

где u — мгновенное значение напряжения на конденсаторе; i — мгновенное значение силы тока в катушке.

Итак, в идеальном колебательном контуре в отдельные моменты времени энергия всей колебательной системы может сосредоточиться либо только в катушке индуктивности, либо только в конденсаторе. В действительности из-за энергетических потерь колебания будут затухающими. При достаточно большом сопротивлении колебания не возникают. Конденсатор разрядится, но его перезарядки при этом не произойдёт.

Вопросы:

1. По какому закону изменяются сила тока, напряжение и заряд при свободных электромагнитных колебаниях в контуре?

2. Как можно определить амплитуду колебаний:

а) силы тока;

б) напряжения на обкладках конденсатора?

3. Чему равна разность фаз между колебаниями силы тока и заряда в идеальном колебательном контуре?

4. В какие моменты времени энергия всей колебательной системы равна максимальному значению:

а) энергии электрического поля;

б) энергии магнитного поля?

Вопросы для обсуждения:

Нa рисунке 6.7 показаны процессы, происходящие в идеальном колебательном контуре за один период, а на рисунке 6.8 — графики, выражающие зависимости мгновенных значений силы тока и напряжения от времени.

а) Какому моменту времени соответствуют процессы в колебательном контуре, представленные на рисунке 6.7, в? Чему равна сила тока в катушке?

б) Какому моменту времени соответствуют процессы в колебательном контуре, изображённые на рисунке 6.7, д? Чему равно напряжение на обкладках конденсатора?

в) Какие преобразования энергии происходят в рассматриваемом контуре?

Пример решения задачи

Сила тока в идеальном колебательном контуре изменяется по гармоническому закону i(t) = 0,02sin 500πt (А). Индуктивность контура равна 0,1 Гн. Определите период колебаний, ёмкость конденсатора, максимальную энергию электрического поля.

Эта энергия по закону сохранения энергии равна энергии колебательного контура W и максимальной энергии W_э электрического ноля:

W_м = W_э .

Определим период колебаний в контуре:

T = 2π / ω .

Для определения ёмкости конденсатора воспользуемся формулой Томсона:

Подставляя числовые данные, получим:

Ответ: W_м = W_э = 2 • 10 ^-5 Дж; T = 4 • 10 ^-3 с; C = 4 мкФ.

Упражнения:

1. Чему равны амплитуда колебаний, период и циклическая частота, если заряд конденсатора колебательного контура изменяется с течением времени по закону:

а) q(t) = 3,5 ∙ 10 ^-5cos 4πt (Кл);

б) q(t) = 5 ∙ 10 ^-6cos 100πt (Кл);

в) q(t) = 0,4 ∙ 10 ^-3sin 8πt (Кл)?

2. Заряд на обкладках конденсатора изменяется с течением времени по закону q(t) = 4 • 10 ^-6cos 4πt (Кл). Чему равна фаза колебаний заряда спустя 5 с после начала колебаний?

3. В колебательном контуре заряд на пластинах конденсатора с ёмкостью 1 мкФ изменяется с течением времени по закону q(t) = 10 ^-6Cos 10⁴πt (Кл). Определите индуктивность контура. Запишите уравнения зависимости силы тока и напряжения от времени. Найдите период и частоту колебаний, амплитуды заряда, силы тока и напряжения.

4. Чему равны амплитуда и период гармонических колебаний, графики которых показаны на рисунке 6.9? Запишите уравнения зависимости q = q(t), i = i(t).

5. По графикам зависимости силы тока в колебательном контуре от времени (рис. 6.10) найдите период колебаний. Запишите уравнения зависимости силы тока и заряда от времени.