11 класс
§ 35. Конденсатор и катушка индуктивности в цепи переменного тока
Конденсатор в цепи переменного тока.
Возьмём источники постоянного и переменного напряжения, причём постоянное напряжение на зажимах источника пусть будет равно действующему значению переменного напряжения. Цепь состоит из конденсатора и лампы накаливания (рис. 6.19), соединённых последовательно.
При включении с помощью переключателя постоянного напряжения лампа не светится.
Но при включении переменного напряжения лампа начинает светиться, если ёмкость конденсатора достаточно велика.
Как же переменный ток может течь по разомкнутой цепи? В этом случае происходит периодическая перезарядка конденсатора под действием переменного напряжения. Ток, текущий при перезарядке, нагревает нить лампы. Найдём, как изменяется со временем сила тока в цепи, содержащей только конденсатор, если сопротивлением проводников и обкладок конденсатора можно пренебречь (рис. 6.20).
Напряжение на конденсаторе u = q / C равно напряжению на зажимах цепи. Следовательно, q / C = Umsin ωt.
Заряд конденсатора меняется по гармоническому закону:
q = CUmsin ωt. (1)
Сила тока представляет собой производную заряда по времени. Если заряд q в формуле (1) — это заряд той пластины конденсатора, которая встречается первой при выбранном направлении обхода контура, то
Таким образом, колебания силы тока опережают по фазе колебания напряжения на π / 2 (рис. 6.21).
Это означает, что в момент, когда конденсатор начинает заряжаться, сила тока максимальна, а напряжение равно нулю. После того как напряжение достигает максимума, сила тока становится равной нулю и т. д. Амплитуда колебаний силы тока равна
Im = UmωC. (2)
Если ввести обозначение 1 / ωC = Xc, то можно записать:
Im = Um / Xc .
Физическую величину Xc, обратную произведению циклической частоты на ёмкость конденсатора, называют ёмкостным сопротивлением.
Роль этой величины подобна роли активного сопротивления R в законе Ома. Амплитудное значение силы тока связано с амплитудным значением напряжения на конденсаторе так же, как связаны согласно закону Ома сила тока и напряжение на участке цепи постоянного тока. Это и позволяет рассматривать величину Xc как сопротивление конденсатора переменному току — ёмкостное сопротивление.
Чем больше ёмкость конденсатора, тем больше, согласно формуле (2), сила тока перезарядки. Это легко обнаружить по увеличению накала нити лампы при увеличении ёмкости конденсатора. В то время как сопротивление конденсатора постоянному току бесконечно велико, его сопротивление переменному току имеет конечное значение Xc. Оно уменьшается с увеличением ёмкости и увеличением частоты. Это можно установить, если для питания цепи, изображённой на рисунке 6.19, использовать генератор переменного тока регулируемой частоты. Плавно увеличивая частоту переменного тока, можно наблюдать увеличение накала нити лампы. Оно вызвано увеличением силы тока за счёт уменьшения ёмкостного сопротивления конденсатора. Зависимость ёмкостного сопротивления от частоты переменного тока приведена на рисунке 6.22.
Катушка индуктивности в цепи переменного тока.
Соберём цепь из катушки большой индуктивности и лампы накаливания (рис. 6.23).
C помощью переключателя можно присоединять эту цепь либо к источнику постоянного напряжения, либо к источнику переменного напряжения. При этом постоянное напряжение и действующее значение переменного напряжения должны быть одинаковы. Опыт показывает, что лампа светится ярче при постоянном напряжении. Следовательно, действующее значение силы тока в рассматриваемой цепи меньше силы постоянного тока. Объясняется это явлением самоиндукции.
При подключении катушки к источнику постоянного напряжения сила тока в цепи нарастает постепенно. Лишь по прошествии некоторого времени сила тока достигает наибольшего (установившегося) значения, соответствующего данному постоянному напряжению. Максимальное значение (амплитуда) силы переменного тока ограничивается индуктивностью L цепи и будет тем меньше, чем больше индуктивность и чем больше частота приложенного напряжения.
Определим силу тока в цепи, содержащей катушку индуктивности (рис. 6.24).
Для этого найдём связь между напряжением на катушке и ЭДС самоиндукции в ней. Если активным сопротивлением катушки можно пренебречь, то напряжение на катушке, равное разности потенциалов между её выводами, уравновешивается ЭДС самоиндукции.
При этом ЭДС самоиндукции в любой момент времени равна по модулю и противоположна по знаку напряжению, созданному источником между выводами катушки:
ei = -u.
При изменении силы тока по гармоническому закону i = Imsin ωt ЭДС самоиндукции равна
ei = -Li' = -LωImcos ωt.
Так как u = -еi, то напряжение на концах катушки оказывается равным
где Um = LωIm — амплитуда колебаний напряжения.
Таким образом, колебания напряжения на катушке индуктивности опережают колебания силы тока на π / 2 или, что то же самое, колебания силы тока отстают по фазе от колебаний напряжения на π / 2. В момент, когда напряжение на катушке достигает максимума, сила тока равна нулю (рис. 6.25).
В момент, когда напряжение становится равным нулю, сила тока максимальна по модулю.
Амплитуда колебаний силы тока в катушке равна Im = Um / Lω
Если ввести обозначение ωL = XL, то получим
Физическую величину XL, равную произведению циклической частоты па индуктивность, называют индуктивным сопротивлением.
Согласно формуле (3), амплитудное значение силы тока связано с амплитудным значением напряжения и индуктивным сопротивлением соотношением, подобным закону Ома для цепи постоянного тока.
Индуктивное сопротивление зависит от частоты. При ω = 0 оно равно нулю (XL = 0). Зависимость индуктивного сопротивления от частоты переменного тока приведена на рисунке 6.26.
Чем быстрее меняется напряжение, тем больше ЭДС самоиндукции и тем меньше амплитуда колебаний силы тока. Это нетрудно обнаружить, если для питания цени, изображённой на рисунке 6.23, взять генератор переменного тока регулируемой частоты.
Вопросы:
1. Почему постоянный ток не может существовать в цепи, содержащей конденсатор?
2. Как соотносятся фазы колебаний силы переменного тока в цепи и переменного напряжения между обкладками конденсатора?
3. От каких физических величин зависит ёмкостное сопротивление?
4. Влияет ли индуктивность на силу переменного тока в цепи?
5. Как соотносятся фазы колебаний силы переменного тока в катушке индуктивности и переменного напряжения между её выводами?
6. От каких физических величин зависит индуктивное сопротивление?
Вопросы для обсуждения:
1. Катушка с сердечником из ферромагнетика поочерёдно включается на одно и то же напряжение в цепи постоянного и переменного тока. Одинаковая ли будет в ней сила тока?
2. Последовательно с лампочкой карманного фонаря к звуковому генератору подключена катушка индуктивности. Как изменится накал нити лампочки, если:
а) не меняя частоту, поместить в катушку железный сердечник;
б) уменьшить частоту?
3. Электрические цепи, изображённые на рисунке 6.27, подключили сначала к источнику постоянного тока, а затем к источнику переменного тока. При этом действующее значение переменного напряжения равно напряжению на полюсах источника постоянного тока. Как при этом изменились показания амперметра?
Упражнения:
1. Найдите период переменного тока, для которого конденсатор ёмкостью 2 мкФ представляет сопротивление 20 Ом.
2. Конденсатор включён в цепь переменного тока стандартной частоты. Действующее значение напряжения в сети 220 В, сила тока в цепи конденсатора 2,5 А. Чему равна ёмкость конденсатора?
3. Ёмкость конденсатора измеряют с помощью вольтметра и амперметра, показания которых соответственно равны 12 В и 15 мА. Частота переменного тока равна 50 Гц. Определите ёмкость конденсатора.
4. Определите индуктивное сопротивление катушки индуктивностью 0,2 мГн при частоте переменного тока:
а) 25 Гц;
б) 50 Гц;
в) 400 Гц.
5. Во сколько раз изменится индуктивное сопротивление катушки, если её включить в цепь переменного тока с частотой не 10 кГц, а 50 Гц?
