Меню сайта

11 класс

§ 36. Закон Ома для цепи переменного тока. Резонанс в электрической цепи

Закон Ома для цепи переменного тока.

Рассмотрим более общий случай электрической цепи, в которую последовательно включены проводник с активным сопротивлением R и малой индуктивностью, катушка с большой индуктивностью L и малым активным сопротивлением и конденсатор ёмкостью С. Если напряжение на концах такой цепи меняется по закону u = U_msin ωt, то сила тока в цепи меняется по закону

i = I_msin (ωt-φ_c),

где φ_c — разность фаз между колебаниями силы тока и колебаниями напряжения в цепи.

В результате математических преобразований можно получить соотношение между амплитудами колебаний силы тока и напряжения в RLC-контуре:

Сдвиг фаз φ_c будет определяться выражением

Выражение (1) имеет вид закона Ома I_m = U_m / Z, где

Величина Z — это полное сопротивление цепи. Закон Ома для цепи переменного тока (1) записан для амплитудных значений силы тока и напряжения.

Резонанс в цепи переменного тока ¹.

---

¹ Существуют два основных вида резонанса в цепи переменного тока: резонанс напряжений, который возникает при последовательном соединении элементов цепи, и резонанс токов, происходящий при их параллельном соединении. В этом параграфе будет рассмотрен резонанс напряжений.

Аналогия между законами механических и электромагнитных колебаний позволяет сделать заключение о существовании резонанса в колебательном контуре, обладающем определённой собственной частотой колебаний.

Амплитуда силы тока при вынужденных электромагнитных колебаниях в контуре, совершающихся под действием внешнего гармонически изменяющегося напряжения, определяется формулой (1). При фиксированном напряжении U_m и заданных значениях R, L и C амплитуда колебаний силы тока достигает максимума при частоте ω, удовлетворяющей соотношению

Знаменатель в формуле (1) становится при этом минимальным, и амплитуда колебаний силы тока достигает максимального значения:

Амплитуда силы тока особенно велика при малом R. Из уравнения (3) можно определить циклическую частоту переменного тока, при которой сила тока максимальна:

Эта частота совпадает с частотой свободных колебаний в контуре с малым активным сопротивлением (см. § 31 "Свободные электромагнитные колебания. Колебательный контур").

Резкое возрастание амплитуды установившихся вынужденных колебаний силы тока в колебательном контуре с малым активным сопротивлением происходит при совпадении частоты внешнего переменного напряжения с собственной частотой колебательного контура. В этом состоит явление резонанса в колебательном контуре.

Резонанс выражен тем отчётливее, чем меньше энергетические потери в цепи, т. е. чем меньше сопротивление R. При R → 0 резонансное значение силы тока неограниченно возрастает: I_рез → ∞.

C увеличением R максимальное значение силы тока уменьшается, и при больших R говорить о резонансе уже не имеет смысла. Зависимость амплитуды силы тока от частоты при различных сопротивлениях показана на рисунке 6.28 (R₁ < R₂ < R₃).

Одновременно с увеличением силы тока при резонансе резко возрастают напряжения на конденсаторе и катушке индуктивности. Они становятся одинаковыми и во много раз превосходят внешнее напряжение, которое связано с резонансной силой тока следующим образом:

При резонансе сдвиг фаз между силой тока и напряжением становится, согласно формуле (2), равным нулю. Наглядно это можно пояснить так. Колебания напряжения на катушке индуктивности и конденсаторе всегда происходят в противофазе. Резонансные амплитуды этих напряжений одинаковы. В результате напряжения на катушке и конденсаторе полностью компенсируют друг друга (u_L = -u_C), и падение напряжения происходит только на участке с активным сопротивлением.

Явление электрического резонанса учитывают в радиотехнике при расчётах электрических цепей, в схемах настройки радиоприёмников, радиопередатчиков, усилителей, генераторов высокочастотных колебаний.

В некоторых случаях резонанс в электрической цепи может принести большой вред. Если цепь не рассчитана на работу в условиях резонанса, то возникновение резонанса приведёт к аварии. Чрезмерно большие токи могут перегреть провода, а большие напряжения приведут к пробою изоляции.

Вопросы:

1. Что представляет собой RLC-контур?

2. Какое соотношение выражает закон Ома для цепи переменного тока?

3. В чём заключается явление резонанса в электрическом колебательном контуре?

Вопросы для обсуждения:

1.Как будет изменяться накал нити лампы при изменении частоты переменного тока от 0 до ∞ в цепях, изображённых на рисунке 6.29? Амплитуда колебаний напряжения источника переменного тока не изменяется.

2. Можно ли установить режим резонанса в цепи переменного тока, не изменяя индуктивности катушки и ёмкости конденсатора в цепи? Если да, то как это сделать?

3. Сравните явление резонанса в механических и электрических колебательных системах.

Пример решения задачи

Катушка с активным сопротивлением 10 Ом и индуктивностью 0,05 Гн соединена последовательно с конденсатором ёмкостью 2 мкФ. К цени подведено напряжение с амплитудой 100 В при частоте переменного тока, равной 50 Гц (рис. 6.30). Определите амплитуду силы тока в цепи.

Запишем закон Ома для цени переменного тока и найдём силу тока:

Ответ: I_m ≈ 0,06 А.

Упражнения:

1. Электрическая цепь состоит из последовательно соединённых резистора сопротивлением 4 Ом, катушки с индуктивным сопротивлением 8 Ом И конденсатора с ёмкостным сопротивлением 5 Ом. К концам цени приложено переменное напряжение 120 В. Найдите силу тока в цепи и напряжения на всех участках цепи.

2. В цепь включены последовательно катушка индуктивностью 50 мГн и конденсатор ёмкостью 20 мкФ. Какой частоты переменный ток нужно пропустить через эту цепь, чтобы наступил резонанс?

3. Конденсатор и катушка соединены последовательно в цепи переменного тока. Индуктивность катушки равна 0,01 Гн. При какой ёмкости конденсатора сила тока частотой 1 кГц будет максимальной?

4. Конденсатор и катушка соединены последовательно в цепи переменного тока. Ёмкостное сопротивление конденсатора равно 5000 Ом. Какой должна быть индуктивность катушки, чтобы резонанс наступил в цепи при частоте тока 20 кГц?

5. Резонансная частота колебательного контура равна 50 кГц. Как нужно изменить расстояние между пластинами плоского конденсатора в этом контуре, чтобы резонансная частота стала равной 70 кГц?