Математическое моделирование с использованием электронных таблиц. Имитационные модели | Электронные таблицы и математическое моделирование

Планирование уроков на учебный год


Урок 32
Математическое моделирование
с использованием электронных таблиц
Имитационные модели




Содержание урока

Электронные таблицы и математическое моделирование. Математическое моделирование

Электронные таблицы и математическое моделирование. Пример математического моделирования в электронных таблицах

Пример имитационной модели. Что такое имитационная модель

Пример имитационной модели. Пример имитационного моделирования в электронной таблице

Практическое занятие № 17

Практическое занятие № 18

Упражнения для самостоятельной работы


Электронные таблицы и математическое моделирование
Пример математического моделирования в электронных таблицах


Чаще всего электронные таблицы используются в задачах такого типа, которые были рассмотрены в предыдущих параграфах: для ш лучения расчетных ведомостей, смет, справок, списков, т. е. в области делопроизводства. Однако электронные таблицы могут оказаться полезными и для научных целей. С их помощью можно строить компьютерные математические модели, проводить вычислительны эксперименты. Рассмотрим пример такого вычислительного эксперимента.

Ученые установили, что прирост какого-либо вида живых организмов за счет рождаемости прямо пропорционален их количеству а убыль за счет смертности прямо пропорциональна квадрату их количества. Этот закон известен под названием закона Мальтуса.

Пусть в одном хозяйстве собираются разводить карпов. Прежде чем запускать мальков в пруд, решили провести расчеты. Согласи закону Мальтуса, изменение числа рыб за один год вычисляется и формуле

△N = kN - qN2.

Здесь N — число карпов в начале года, k — коэффициент прироста, q — коэффициент смертности. Экспериментально установлен* что для данного вида рыб (карпы) и в данных условиях (состоят водоема, наличие корма) k = 1, q = 0,001.

Если первоначально в пруд запущено N0 рыб, то из закона следует, что количество карпов через год будет таким:

Nl = N0 + (kN0 - qN20).

Через два года:

N2 = N1 + (kN1 - qN21)

и т. д. Можно написать общую формулу для вычисления кол им со ва рыб в i - м году после их запуска:

Ni = Ni - 1 + (kNi - 1 - qN2i - 1) для i = 1.2.8,...

Эта формула является математической моделью процесса размножения рыб в водоеме.

Заполним электронную таблицу для проведения по этой формуле расчета рыбного «поголовья» в пруду в течение нескольких лет — табл.4.13.

Не надо думать, что всю таблицу приходится вводить посимвольно с клавиатуры. Строки, начиная с 7-й, формируются путем копирования предыдущей строки. При этом относительные адреса изменяются автоматически.

Для получения результатов достаточно занести в ячейку F1 первоначальное число рыб.

Таблица 4.13. Расчет числа рыб в пруду с интервалом в год

А B C D E F
1 k = 1 q = 0,001 N =  
2            
3 Год   Число рыб      
4            
5 1   =F1+&B&1*F1-$D$1*F1*F1      
6 =A5+1   =C5+&B&1*C5-$D$1*C5*C5      
7 =A6+1   =C6+&B&1*C6-$D$1*C6*C6      
8 =A7+1   =C7+&B&1*C7-$D$1*C7*C7      
9 =A8+1   =C8+&B&1*C8-$D$1*C8*C8      
... ....... ... ....... ...... ..... ....

Теперь можно экспериментировать. Проследим, как за 10 лет будет меняться число карпов при разном количестве первоначально запущенных рыб. Вот несколько таблиц с результатами таких расчетов.

k=1  q=0,001 N=100
Год Число рыб
   
1 190
2 343
3 569
4 814
5 965
6 998
7 1000
8 1000
9 1000
10 1000
k=1  q=0,001 N=1000
Год Число рыб
   
1 1000
2 1000
3 1000
4 1000
5 1000
6 1000
7 1000
8 1000
9 1000
10 1000
k=1  q=0,001 N=1500
Год Число рыб
   
1 750
2 937
3 996
4 1000
5 1000
6 1000
7 1000
8 1000
9 1000
10 1000
k=1  q=0,001 N=2000
Год Число рыб
   
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
6 0
7 0
8 0
9 0
10 0

Не правда ли, удивительные результаты? Из приведенных таблиц следует, что невозможно иметь в пруду 2000 карпов и более. Если начальное число рыб меньше 1000, то оно постепенно будет расти до 1000 штук и далее меняться не будет. Если сразу запустить 1000 рыб, то это количество останется неизменным и в последующие годы. Даже если запустить сначала 1500 рыб, то через год их численность сократится в два раза, а затем все равно дойдет до 1000. Если же запустить в пруд 2000 рыб, то через год все они вымрут.

Из полученных результатов рыбоводы могут сделать практические выводы. Приведенные выше таблицы автоматически получались после изменений значения всего лишь в одной ячейке F1.

Коротко о главном


Математической моделью называется информационная модель объекта, выраженная математическими средствами (формулами, уравнениями и т. п.).

Табличный процессор может применяться в качестве инструмента для математического моделирования.

Полученную математическую модель можно использовать для проведения вычислительного эксперимента. Вычислительный эксперимент — это расчеты с помощью компьютерной математической модели с целью прогноза поведения какой-то системы, с целью выяснения вопроса о том, как изменение одних характеристик системы отражается на других.

Вопросы и задания


1. Что такое математическая модель?

2. Что такое вычислительный эксперимент?

3. Проведите вычислительный эксперимент в таблице расчета количества рыб в пруду, поставив следующую цель: подобрать такие значения параметров knq, при которых количество рыб за 10 лет может быть доведено до 2000.

К решению задачи добавьте графическую обработку результатов: график изменения численности рыб с течением времени.


Следующая страница Пример имитационной модели. Что такое имитационная модель










Наверх