Урок 10
Логика и компьютер. Логические операции. Диаграммы Эйлера-Венна
§18. Логика и компьютер. §19. Логические операции. §20. Диаграммы
Содержание урока
§18. Логика и компьютер
§19. Логические операции
Вопросы и задания, Задачи
§20. Диаграммы
§19. Логические операции
Вопросы и задания
Задачи
1. Даны два высказывания: А — «В Африке водятся жирафы» и В — «В Мурманске идёт снег». Постройте из них различные сложные высказывания.
2. Дано высказывание «Винни-Пух любит мёд, и дверь в дом открыта». Как бы вы сформулировали отрицание этого высказывания?
3. Что такое таблица истинности?
4. Почему таблица истинности для операции «НЕ» содержит две строки, а таблицы для других изученных операций — четыре? Сколько строк в таблице истинности выражения с тремя переменными? С четырьмя? С пятью?
5. В каком порядке обычно записываются значения переменных в таблице истинности? Зачем это нужно?
6. Когда истинно высказывание А И В? А ИЛИ В?
7. Какие электрические схемы можно использовать для иллюстрации операций «И» и «ИЛИ»?
8. Какие знаки применяют для обозначения операций «НЕ», «И», «ИЛИ»?
9. Почему операция «И» называется логическим умножением, а «ИЛИ» — логическим сложением?
10. В чём различие арифметического и логического сложения?
11. Сколько можно определить различных логических функций с двумя переменными? С тремя переменными?
12. Чем отличается операция «исключающее ИЛИ» от операции «ИЛИ»?
13. Почему операция «исключающее ИЛИ» называется сложением по модулю 2?
14. Как записать выражение А ⊕ В с помощью базового набора операций (НЕ, И, ИЛИ)?
15. Как можно доказать или опровергнуть логическое равенство?
16. Какими интересными свойствами обладает операция «исключающее ИЛИ»?
17. Что значит выражение «обратимая операция»? Какие изученные логические операции являются обратимыми?
18. Какое свойство операции «исключающее ИЛИ» позволяет использовать ее для простейшего шифрования?
19. Чем отличается смысл высказывания «если А, то В» в обычной речи и в математической логике?
20. Запишите в виде логической формулы высказывание «Если утюг горячий, то лоб холодный».
21. Запишите в виде логической формулы высказывание «Неверно, что если утюг горячий, то лоб холодный». Можно ли в этом случае сразу сказать, каким является утюг и каким — лоб?
22. Как выразить импликацию через операции «НЕ» и «ИЛИ»? Докажите полученное тождество.
23. Как выразить эквивалентность через операции «НЕ», «И» и «ИЛИ»? Докажите полученное тождество.
24. Чем интересны операции «штрих Шеффера» и «стрелка Пирса»?
25. Докажите тождества, позволяющие представить базовые логические операции через штрих Шеффера. Попробуйте построить и доказать аналогичные тождества для операции «стрелка Пирса».
26. Что такое формализация?
27. В каком порядке выполняются действия в логических выражениях?
28. Что можно сделать для того, чтобы изменить естественный порядок действий?
29. Какие операции называются бинарными и унарными? Приведите примеры унарных и бинарных операций в математике.
30. Поясните разницу между терминами «логическое выражение» и «логическая функция».
31. Можно ли сказать, что таблица истинности однозначно определяет:
а) логическое выражение;
б) логическую функцию?
32. Что такое вычислимое логическое выражение?
33. Что такое тавтология? Противоречие? Приведите примеры.
34. Что такое равносильные выражения?
Подготовьте сообщение
а) «Логическая операция "Штрих Шеффера”»
б) «Логическая операция “Стрелка Пирса"»
в) «Шифрование с помощью операции "исключающее ИЛИ"»
Задачи
1. Составьте деревья для вычисления логических выражений и табли цы истинности этих выражений:
2. Составьте деревья для вычисления логических выражении и табли цы истинности этих выражений:
3. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трёх аргументов: X, У, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F. Какие из этих выражений могут соответствовать F?
4. Для предыдущего задания определите, сколько различных логических функций соответствует заданной частичной таблице истинности.
5. Задано 5 строк таблицы истинности некоторого логического выражения с тремя переменными. Сколько различных логических функций ей соответствуют?
6. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трёх аргументов: X, У, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F. Какие из этих выражений могут соответствовать F7
7. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выра жений от трёх аргументов: X, У, Z. Дан фрагмент таблицы истин ности выражения F. Какие из этих выражений могут соответство вать F?
8. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F. Какие из этих выражений могут соответствовать F?
9. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F. Какие из этих выражений могут соответствовать F?
10. Определите значение логического выражения (X > 2) → (X > 3) для X = 1, 2, 3, 4.
11. Определите значение логического выражения ((X < 5) → (Х < 3)) • ((Х < 2) → (Х < 1)) для X = 1, 2, 3, 4.
12. Определите значение логического выражения ((X > 3) + (Х < 3)) → (Х < 1) для X = 1, 2, 3, 4.
13. Определите значение логического выражения ((X < 4) → (Х < 3)) • ((X < 3) → (Х < 1)) для X = 1, 2, 3, 4.
14. Определите значение логического выражения (X • (X - 8) < 2 • X - 25) → (X > 7) для X = 4, 5, 6, 7.
15. Найдите все целые значения X, при которых логическое выражение (X > 2) → (X > 5) ложно.
16. Найдите все целые значения X, при которых логическое выражение ((X > 0) + (X > 4)) → (X > 4) ложно.
17. Автопилот может работать, если исправен главный бортовой компьютер или два вспомогательных. Выполните формализацию и запишите логические формулы для высказываний «Автопилот работоспособен» и «Автопилот неработоспособен».
18. Каково наибольшее целое положительное число X, при котором истинно утверждение: (Х(Х + 3) > Х2 + 9) → (Х(Х + 2) ≤ Х2 + 11)?
19. Каково наибольшее целое положительное число X, при котором истинно утверждение: (121 < Х2) → (Х > Х + 5)?
20. Каково наибольшее целое положительное число X, при котором ложно утверждение: (X (X + 6) + 9 > 0) → (X2 > 45)?
21. Каково наибольшее целое положительное число X, при котором истинно утверждение: (Х2 -1 > 100) → (Х(Х - 1) < 100)?
22. Каково наибольшее целое положительное число X, при котором ложно утверждение: (7Х -3 < 75) → (Х(Х - 1) > 65)?
23. Известно, что для чисел А, В и С истинно утверждение ((С < А) + (С < В)) • ((С + 1) < А) • ((С + 1) < В).
а) Чему равно С, если А = 25 и В = 48?
б) Чему равно С, если А = 45 и В = 18?
24. Известно, что для чисел А, В и С истинно утверждение (А = В) • ((В < А) → (2С > А)) • ((А < В) → (А > 2С)).
Чему равно А, если С = 10 и В = 22?
Следующая страница 
§20. Диаграммы
Cкачать материалы урока
