Уроки 63 - 73
§3.2. Алгебра логики
Содержание урока
3.2.1. Логическое умножение, сложение и отрицание
3.2.2. Логические выражения
3.2.3. Логические функции
3.2.4. Логические законы и правила преобразования логических выражений
3.2.5. Решение логических задач
Формулирование логических задач
Задание «Логическая задача»
3.2.5. Решение логических задач
Задание «Логическая задача»
В школе в каждой из двух аудиторий может находиться либо кабинет информатики, либо кабинет физики. На аудиториях повесили шутливые таблички, про которые известно, что они либо обе истинны, либо обе ложны. На первой аудитории повесили табличку «По крайней мере, в одной из этих аудиторий размещается кабинет информатики», а на второй аудитории — табличку с надписью «Кабинет физики находится в другой аудиторци». Определите, какой кабинет размещается в каждой из аудиторий.
Переведем условие задачи на язык алгебры логики. Так как в каждой из аудиторий может находиться кабинет информатики, то пусть:
А — «В первой аудитории находится кабинет информатики».
В — «Во второй аудитории находится кабинет информатики».
Поскольку в каждой аудитории обязательно размещается какой-либо из этих двух кабинетов, отрицания этих высказываний будут соответствовать:
А — «В первой аудитории находится кабинет физики».
B — «Во второй аудитории находится кабинет физики».
Высказывание, содержащееся на табличке первой аудитории, соответствует логическому выражению:
X = A ∨ В.
Высказывание, содержащееся на табличке второй аудитории, соответствует логическому выражению:
Y = А.
Содержащееся в условии задачи утверждение о том, что надписи на табличках либо одновременно истинные, либо одновременно ложные, соответствует истинности функции эквивалентности :
(X → Y) = 1.
Выразим функцию эквивалентности через базовые логические функции и получим:
(X & Y) ∨ (X & Y) = 1.
Подставим вместо X и Y соответствующие логические выражения:
((A ∨ В) & А) ∨ ((А ∨ В) & А = 1.
Упростим сначала первое слагаемое. В соответствии с правилом дистрибутивности умножения относительно сложения:
((A ∨ В) & А) = (A & А) ∨ (В & А).
В соответствии с законом непротиворечия:
(A & А) ∨ (В & А) = 0 ∨ (В & А).
В соответствии с правилом исключения констант:
0 ∨ (В & А) = (В & А).
Упростим теперь второе слагаемое. В соответствии с первым законом де Моргана и законом двойного отрицания:
((А ∨ В) & А = А & B & А)= А & А & B).
В соответствии с законом непротиворечия:
А & А & B) = (0 & B) = 0.
В результате преобразований первого и второго слагаемых получаем:
(B & А) ∨ 0 = 1.
В соответствии с правилом исключения констант:
(B & А) = 1.
Полученное логическое выражение оказалось простым, и поэтому его можно проанализировать без построения таблицы истинности. Для того чтобы выполнялось равенство, обе логические переменные должны быть равны 1, а соответствующие им высказывания истинны:
В — «Во второй аудитории находится кабинет информатики».
А — «В первой аудитории находится кабинет физики».
Таким образом, логическая задача решена: в первой аудитории находится кабинет физики, а во второй — кабинет информатики.
Следующая страница 
Компьютерный практикум
Cкачать материалы урока
