Уроки 10 - 12
Модели ограниченного и неограниченного роста
(§10. Математические модели в биологии)

Содержание урока

Модель неограниченного роста

Модель ограниченного роста

Взаимодействие видов

Обратная связь. Саморегуляция

Вопросы и задания

Задачи

Модель неограниченного роста

Многие идеи в области моделирования были предложены биологами. Достаточно вспомнить, что родоначальником общей теории систем (системного подхода) был биолог Людвиг фон Берталанфи. В этом параграфе мы познакомимся с моделями некоторых биологических систем.

Одна из задач, которые решают биологи, — изучение изменения численности животных в некоторой области. Обычно их пересчитывают раз в год, поэтому модель изменения численности получается дискретной — с её помощью можно определить численность с интервалом 1 год.

Обозначим через N₀ начальную численность, а через N_i — численность в i-й год с момента начала наблюдений. Количество родившихся и умерших животных пропорционально численности, поэтому годовой прирост равен k_p • N_i - k_c • N_i, где k_p и k_c — коэффициенты рождаемости и смертности. Тогда количество животных в (i + 1)-й год может быть вычислено через их количество N_i в предыдущему году:

N_i+1 = N_i + k_p • N_i - k_c • N_i = (1+ K) • N_i,

где К = kp - k_c — коэффициент прироста. Это и есть математическая модель развития популяции («населения») животных. Коэффициенты k_p и k_c (так же как и другие коэффициенты в рассматриваемых далее моделях) обычно определяются экспериментально.

При К = 0 (рождаемость равна смертности) количество животных не меняется, при К < 0 (k_p < k_c) животные вымирают, а при К > 0 (k_p > k_c) их число бесконечно увеличивается (рис. 2.14).

Рис. 2.14

Поэтому эту модель называют моделью неограниченного роста.

Английский учёный и экономист Томас Мальтус использовал её для описания роста населения Земли, поэтому эту модель иногда называют моделью Мальтуса.

Недостаток этой модели в том, что она не учитывает ограниченность ресурсов (например, пищи), влияние других видов и изменяющихся природных условий, из-за которых изменяются коэффициенты рождаемости и смертности. Поэтому модель Мальтуса адекватна только при небольших интервалах наблюдения.

Следующая страница Модель ограниченного роста

Cкачать материалы урока