Модели ограниченного и неограниченного роста | Взаимодействие видов (11_34_pol)

Планирование уроков на учебный год (по учебнику К.Ю. Полякова, Е.А. Еремина, базовый уровень)


Уроки 10 - 12
Модели ограниченного и неограниченного роста
(§10. Математические модели в биологии)



Содержание урока

Модель неограниченного роста

Модель ограниченного роста

Взаимодействие видов

Обратная связь. Саморегуляция

Вопросы и задания

Задачи


Взаимодействие видов


Все модели, которые мы рассматривали выше, описывали изменение одного вида. На самом деле на одной территории всегда живут несколько видов животных, которые соперничают друг с другом. В простейшем случае это соперничество за еду (например, между белками и бурундуками). Однако наиболее интересна модель «хищник — жертва», в которой один вид — хищники (например, щуки), а второй — их пища (караси).

Сначала построим модели двух видов по отдельности. Изменение численности карасей Ni описывается уже известной нам моделью ограниченного роста:

Ni+1 = (1 + KL) • Ni, KL = K • (L - Ni / L).

Будем считать, что щуки могут питаться только карасями 1. Тогда без карасей они просто погибают, и модель изменения их численности имеет вид:

Zi+1 = (1 - D) - Zi,

где D — коэффициент смертности щук (для простоты будем считать его постоянным).


1 Конечно, в самом деле, это предположение чаще всего неверно, но мы используем его для простоты модели.



Объединив две модели, мы не получаем систему, потому что никак не учитывается связь между численностью карасей и щук, живущих в одном водоёме. В результате численность карасей со временем станет равна L, а щуки вымрут, хотя вокруг полно еды.

Чтобы построить системную модель, предположим, что частота встреч карасей и щук пропорциональна произведению их численностей: Ni • Zi. В результате этих встреч каждый год гибнет bN-Ni-Zi карасей, но появляется bz-Ni-Zi новых щук. Здесь bN и bz — это некоторые коэффициенты, которые определяются экспериментально. Таким образом, полная модель-система состоит из двух связанных уравнений:

На рисунке 2.16 показаны графики изменения численности карасей и щук, полученные при L = 100, N0 = 50, Z0 — 10, d = 0,8, bN = 0,01 и bz = 0,012. Сначала мы видим «переходный период», когда численность карасей и щук довольно сильно меняется, а затем наступает равновесие — количество рыб обоих видов остаётся примерно постоянным. Обратите внимание, что численность карасей не достигает предельного значения L — щуки мешают. Вместе с тем количество щук не растёт бесконтрольно — не хватает еды. Таким образом, в природных системах соблюдается равновесие.

Рис. 2.16

Рис. 2.16



Следующая страница Обратная связь. Саморегуляция



Cкачать материалы урока







Наверх